MUSCL-Schema

Monotonic Upstream-centered Scheme for Conservation Laws

Ursprung: van Leers Towards the Ultimate Conservative Difference Scheme von 1979

Wir diskutieren zunächst die Wikipedia-Darstellung mit Nomenklatur: $u$ ist ein Spaltenvektor aus allen betrachteten Dichten, $F(u)$ ist eine vektorwertige Funktion, die die dazugehörigen Stromdichten (oder auch fluxes bzw. Flüsse) liefert.

Die Dichte $u$ auf den Zellgrenzen, also $u_{i\pm 1/2}^{L/R}$, wird ähnlich zur Vorlesung mittels linearer Extrapolation gewonnen, jedoch wird nicht die Korrektur 2. Ordnung des Flusses der Limiter-Funktion $\varphi$ unterworfen, sondern die lineare Extrapolation selbst ("slope limited, reconstructed left and right states").

Die Konstruktion der Flüsse auf den Zellgrenzen, genannt $F_{i\pm 1/2}^{\ast }$, hängt vom konkreten verwendeten Schema ab, wobei missverständlicherweise $F_{i\pm 1/2}^{\ast }=F(u_{i\pm 1/2}^{\ast })$ suggeriert und $u_{i\pm 1/2}^{\ast }$ nirgends definiert wird. Das vorgestellte Schema von Kurganov and Tadmor konstruiert die Flüsse $F_{i\pm 1/2}^{\ast }$ aus den Funktionswerten $F(u_{i\pm 1/2}^{L/R})$ selbst und aus den Eigenwerten der Jacobi-Matrix von $F$.

Kommt das Schema von Nessyahu und Tadmor, ein Vorläufer des KT-Schemas, ohne die Eigenwerte der Jacobi-Matrix aus?