BA Marvin Henke

Herleitung inkompressible,inviskose, wirbelfreie Strömung um einen Zylinder

Betrachtet wird ein sich mit Geschwindigkeit \(\vec{v_0}=v_0 \hat{x}\) durch ein Fluid bewegender Zylinder mit Radius \(R\). Es wird in Zylinderkoordinaten \((r,\varphi,z)\) gerechnet, wobei die \(z\)-Dimension irrelevant für die Rechnung ist. Aufgrund der Annahmen (inkompressibel,inviskos, wirbelfrei) gilt folgendes: \begin{align} \rho(\vec{r},t) = \rho(\vec{r})\ , \frac{\mathrm{d} \rho}{\mathrm{d} t} + \rho (\vec{\nabla}\cdot\vec{v}) = 0 \ \Rightarrow\ \vec{\nabla}\cdot\vec{v}=0\\ \vec{\nabla}\times\vec{v}=0 \ \Rightarrow\ \exists \phi : \vec{v} = \vec{\nabla} \phi \end{align} Für das Potential \(\phi\) folgt Aufgrund von \(\vec{\nabla}\cdot\vec{v}=0\), dass \(\Delta\phi = 0\) gilt (Laplace-Gleichung).

Im Unendlichen soll die Geschwindigkeit des Fluids verschwinden, d.h. \( \vec{v} \xrightarrow[]{r \to \infty} \vec{0}\).

Für den Rand des Zylinders soll die Relativgeschwindigkeit des Fluids senkrecht zur Oberflächennormale sein, d.h. \(\forall \varphi : (\vec{v}(r=R,\varphi) - v_0 \hat{x})\cdot \hat{n} = 0 \).

Es ist also eine Lösung der Laplace-Gleichung auf \( \mathbb{R}^2 \setminus B_R(0) \) gesucht, welche im Unendlichen einen verschwindenden Gradienten hat und auf \( \partial B_R(0) \) die Neumann-Randbedingung \( \partial_n \phi = v_0 \hat{n}\cdot\hat{x} \) erfüllt. Die Fundamentallösungen der Laplace-Gleichung inspirieren folgenden Ansatz: \begin{align} \phi(r,\varphi) = \frac{c(\varphi)}{r} \end{align} Für beschränkte \( c(\varphi) \) verschwindet das Potential und die Geschwindigkeit im Unendlichen. Einsetzen in die Laplace-Gleichung liefert die folgende Bedingung an \( c(\varphi) \): \begin{align} c^{\prime\prime}(\varphi) + c(\varphi) = 0 \ \Rightarrow\ c(\varphi) = A \sin (\varphi) + B \cos (\varphi) \end{align}

Durch die Neumann-Bedingung lassen sich die Koeffizienten bestimmen: \(A = 0\) und \(B=-v_0 R^2\)

Damit ist das gesuchte Potential gefunden: \begin{align} \phi(r,\varphi) = -v_0 R^2 \frac{\cos \varphi}{r} \end{align} Es ergibt sich folgende Flussgeschwindigkeit als Gradient des Potentials: \begin{align} \vec{\nabla}\phi = \vec{v}(r,\varphi) = \frac{R^2}{r^2} v_0 \left[ \hat{r} \cos\varphi + \hat{\varphi} \sin\varphi \right] \end{align}

Für die Flussgeschwindigkeit um einen umströmten statischen Zylinder, wird nun die Geschwindigkeit des bewegten Zylinders subtrahiert. Es ergibt sich: \begin{align} \vec{v}(r,\varphi) = \frac{R^2}{r^2} v_0 \left[ \hat{r} \cos\varphi + \hat{\varphi} \sin\varphi \right] - v_0 \hat{x}\\ \vec{v}(r,\varphi) = \frac{R^2}{r^2} v_0 \left[ \hat{r} \cos\varphi + \hat{\varphi} \sin\varphi \right] - v_0 (\hat{r} \cos\varphi - \hat{\varphi} \sin\varphi)\\ \vec{v}(r,\varphi) = v_0 \left[ \hat{r} (\frac{R^2}{r^2} - 1) \cos\varphi + \hat{\varphi} (\frac{R^2}{r^2} + 1) \sin\varphi \right] \end{align}