BA Marvin Henke

From Arbeitsgruppe Kuiper
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Auflösungseffekte in Modellen verschiedener Reynolds-Regime für Unterschallströmungen um ein Hindernis

Herleitung inkompressible,inviskose, wirbelfreie Strömung um einen Zylinder

Betrachtet wird ein sich mit Geschwindigkeit v0=v0x^ durch ein Fluid bewegender Zylinder mit Radius R. Es wird in Zylinderkoordinaten (r,φ,z) gerechnet, wobei die z-Dimension irrelevant für die Rechnung ist. Aufgrund der Annahmen (inkompressibel, inviskos, wirbelfrei) gilt folgendes: dρdt=0 , ρt+(ρv)=ρt+uρ+ρ(v)=dρdt+ρ(v)=0  v=0×v=0  ϕ:v=ϕ Daher folgt aus der Annahme dρdt=0 mit der Kontinuitätsgleichung, dass u=0 gelten muss, also die Divergenzfreiheit des Geschwindigkeitsfelds.

Für das Potential ϕ folgt Aufgrund von v=0, dass Δϕ=0 gilt (Laplace-Gleichung).

Im Unendlichen soll die Geschwindigkeit des Fluids verschwinden, d.h. vr0.

Für den Rand des Zylinders soll die Relativgeschwindigkeit des Fluids senkrecht zur Oberflächennormale sein, d.h. φ:(v(r=R,φ)v0x^)n^=0.

Es ist also eine Lösung der Laplace-Gleichung auf R2BR(0) gesucht, welche im Unendlichen einen verschwindenden Gradienten hat und auf BR(0) die Neumann-Randbedingung nϕ=v0n^x^ erfüllt. Die Fundamentallösungen der Laplace-Gleichung inspirieren folgenden Ansatz: ϕ(r,φ)=c(φ)r Für beschränkte c(φ) verschwindet das Potential und die Geschwindigkeit im Unendlichen. Einsetzen in die Laplace-Gleichung liefert die folgende Bedingung an c(φ): c(φ)+c(φ)=0  c(φ)=Asin(φ)+Bcos(φ)

Durch die Neumann-Bedingung lassen sich die Koeffizienten bestimmen: A=0 und B=v0R2

Damit ist das gesuchte Potential gefunden: ϕ(r,φ)=v0R2cosφr Es ergibt sich folgende Flussgeschwindigkeit als Gradient des Potentials: ϕ=v(r,φ)=R2r2v0[r^cosφ+φ^sinφ]

Für die Flussgeschwindigkeit um einen umströmten statischen Zylinder, wird nun die Geschwindigkeit des bewegten Zylinders subtrahiert. Es ergibt sich: v(r,φ)=R2r2v0[r^cosφ+φ^sinφ]v0x^v(r,φ)=R2r2v0[r^cosφ+φ^sinφ]v0(r^cosφφ^sinφ)v(r,φ)=v0[r^(R2r21)cosφ+φ^(R2r2+1)sinφ]

Für den Druck lässt sich mit der Bernoulli-Gleichung v22+pρ=const. folgender Ausdruck herleiten: p=ρ2v02(2R2r2cos2φR4r4)

Stabilitätsanalyse

Es soll nun eine Stabilitätsanalyse für die inkompressible Strömung (mit ρ(x,t)=ρ0) um den Zylinder bei einer Reynoldszahl im Übergangsbereich Krichregime Vortexregime oder Vortexregime laminar periodisch durchgeführt werden. Die zugrunde liegenden Gleichungen in dem Satz natürlicher Einheiten (ρ0, v0, D) mit Re=ρ0v0Dμsind: v=0tv+(v)v+p1ReΔv=0 Angenommen man hat eine Lösung (v,p) dieser Gleichungen für eine Reynoldszahl Re=:a und stört diese mit (δv, δp). Die Frage ist nun, wie sich diese Störungen in erster Ordnung verhalten, wenn wir die gestörte Lösung in die Kontinuitätsgleichung & Impulsgleichung für eine andere Reynoldszahl Re=:b einsetzen.

Aus der Kontinuitätsgleichung wird einfach eine Kontinuitätsgleichung für die Störung: δv=0 Die linearisierte Impulsgleichung für (v+δv, p+δp) bei Re=b ist die folgende: (baab)Δv+(δv)v+(v)δv+δp+tδv1bΔδv=0 Man wählt nun einen Exponentialansatz für die Störung (aufgrund der Linearität der Gleichungen): δv=δv0exp(i(krωt))δp=δp0exp(i(krωt)) Es gelten nun folgende Gleichungen: δp=ikδptδv=iωδvΔδv=k2δv(v)δv=i(vk)δv Damit wird die Kontinuitätsgleichung und Impulsgleichung zu: kδv=0(baab)Δv+(δv)v+i(vk)δv+ikδpiωδv+1bk2δv=0

Für a=b fällt der erste Term weg.

Da die Störungen nicht die Randbedingungen erfüllen, gibt es bessere Ansätze. Einer wären z.B. Besselfunktionen. Als analytische Lösung für den ersten Übergang könnte man die Lösung der Potentialströmung verwenden.

In Zylinderkoordinaten lauten die linearisierten Gleichungen für eine beliebige Störung: 1r(r(rδvr)+φ(δvφ))=0δvrrvr+δvφrφvr+vrrδvr+vφrφδvr2vφδvφr+rδp1b(1rr(rrδvr)+1r2φ2δvr1r2δvr2r2φδvφ)=tδvrδvrrvφ+δvφrφvφ+vrrδvφ+vφrφδvφ+2vφδvrr+1rφδp1b(1rr(rrδvφ)+1r2φ2δvφ1r2δvφ+2r2φδvr)=tδvφ

Numerik und Simulationsparameter

Die Simulation läuft in Zylinderkoordinaten, der Radius des Zylinders beträgt R=1, der Radius des Simulationsgebiets beträgt R=10 (bzw. für spätere Simulationen R=100).

Die externe Einströmgeschwindigkeit wird über die Mach-Zahl M=vextc geregelt, die Reynoldszahl Re=vLν regelt die kinematische Viskosität ν.

Die externe Dichte ρext wird auf 1 normiert, genauso die Schallgeschwindigkeit c.

Mit pVγ=const. und c2=(pρ)S folgt für den externen Druck pext=c2ρextγ , wobei γ der Isentropenexponent γ=1+2f mit der Anzahl an Freiheitsgraden f ist.

Die Anfangsbedingungen sind folgende: v0=vextx^ρ0=ρext=1p0=pext

Für die Winkel sind periodische Randbedingungen definiert, in radiale Richtung werden für die Zylinderoberfläche reflektive Randbedingungen verwendet. In z-Richtung werden outflow-Randbedingungen benutzt.

In radiale Richtung auf dem äußeren Rand des Simulationsgebiets sind die Randbedingungen benutzerdefiniert. Standardmäßig wird hier ρ=ρext, v=v0 und p=pext für die Geisterzellen verwendet. Verwendet man outflow/inflow Randbedingungen für x<0 erzielt man minimal bessere Ergebnisse. Hierfür wurde die selbe Simulation für R=100 durchgeführt. Vergleicht man nun das Dichtefeld aus dieser Simulation (hier sind aufgrund des großen Radius die Randbedingungen nahezu beliebig) mit dem Dichtefeld für konstante Randbedingungen bzw. outflow/inflow Randbegingungen, so stellt sich heraus, dass die outflow/inflow Randbedingung zu kleineren Abweichungen führt. Mit outflow/inflow Randbedingungen ist gemeint, dass das Geschwindigkeitsfeld am Rand in die Geisterzellen fortgesetzt wird, während die Dichte und der Druck wie zuvor konstant auf einen Randwert festgesetzt werden.

Da diese Verbesserungen allerdings sehr klein ist, wurden alle weiteren Simulationen weiterhin mit konstanten Randbedingungen durchgeführt, um Konsistenz mit den vorherigen Simulationen zu garantieren.

Bestimmung der Regimeübergänge

Im folgenden sollen die Reynoldszahlen der Übergänge verschiedener Strömungsregime bestimmt werden. Da die Strömungskenngrößen (z.B.ρ,v) aufgrund der Numerik diskret sind, helfen folgende Definitionen für Skalarfelder: t=kΔt  s(x,t) =^ siks˙ik+n2 =^ sik+nsiknΔt Außerdem sei Δtk die k-te Zeitschrittweite und ΔVi das Volumen der i-ten Zelle. Im Folgenden wird über Zeitintervalle und Volumina summiert, dafür gilt T=kΔtk und V=iΔVi.

Methodik zur Bestimmung des Übergangs von L1 in L2

Im Folgenden ist die implementierte Methodik zur Bestimmung des ersten Übergangs von L1 (creeping flow / non-separation regime [0 < RE < 4-5]) zu L2 (closed near-wake regime [4-5 < RE < 30-48]) beschrieben. Der wesentliche Unterschied liegt in der Symmetrie des Flusses bezüglich der y-Achse. Für L1 ist eine hohe Symmetrie zu erwarten, während für L2 aufgrund der sich bildenden Vortices hinter dem Zylinder eine niedrigere Symmetrie zu erwarten ist. Als Maß für die Symmetrie eines Skalarfelds s (z.B. ρ) wird folgende Definition verwendet: S[s(r,φ)]:=1d2(r,φ)drdφs2(r,φ)drdφd(r,φ):=s(r,φ)s(r,πφ) Hierbei gilt φ(π/2,π/2) und φ(0,2π).

Diese Definition von S(s) garantiert, dass für Skalarfelder s(x,y)=s(x,y) die Symmetrie S(s)=1 beträgt. Anderesherum gilt für ein Skalarfeld mit s(x,y)=s(x,y), dass S(s)=1 gilt. Aufgrund der Normierung hat S(s) immer die Dimension Zahl.

Alternativ kann die Rotation betrachtet werden. Diese sollte aufgrund der Wirbel in L2 größer sein. Als Maß der Rotation eines Vektorfelds f (z.B. v) wird folgende Definition verwendet: R(f):=Lfext(×f)zr,φ Hierbei wird der Erwartungswert nur über die obere Hälfte 0<φ<π gebildet.

Methodik zur Bestimmung des Übergangs von L2 in L3

Beim Übergang von L2 (closed near-wake regime [4-5 < RE < 30-48]) zu L3 (periodic laminar regime [30-48 < RE < 180-200]) ändert sich das Verhalten des Systems im steady state. In L2 wird nach einiger Zeit ein zeitlich konstanter steady state angenommen, in L3 hingegen verhält sich das System periodisch, d.h. man müsste den Übergang anhand der Zeitableitung der Strömungskenngrößen erkennen können. Dazu wird folgende Größe definiert: Ct(s,n):=(ts(r,φ,t))2r,φ,t(vextL)2s2(r,φ,t)r,φ,t=i,kΔtkΔVi(s˙ik+n2)2(vextL)2i,kΔtkΔVi(sik)2 Prinzipiell handelt es sich hier um den Erwartungswert bezüglich Zeit und Ort der Größe (s˙ik+n2)2. Das n gibt an wie viele Mittelungen bei der Berechnung des diskreten Differenzenquotienten gemacht werden. Aufgrund der Normierung hat Ct(s,n) immer die Dimension Zahl.

Simulationsergebnisse

Ergebnisse für die Symmetrie für verschiedene Reynoldszahlen und Gitter (bei R=10)
Symmetrie der Dichte
Symmetrie vx
Symmetrie vy
Ergebnisse für die Symmetrie für verschiedene Reynoldszahlen und Gitter (bei R=100)
Symmetrie der Dichte
Symmetrie vx
Symmetrie vy
Ergebnisse für die Symmetrie der normierten Geschwindigkeit für verschiedene Reynoldszahlen und Gitter (bei R=100)
Symmetrie der Dichte
Symmetrie vx
Symmetrie vy
Ergebnisse für die Zeitableitung für verschiedene Reynoldszahlen und Gitter (bei R=10)
Zeitableitung der Dichte
Zeitableitung von vx
Ergebnisse für die Zeitableitung für verschiedene Reynoldszahlen und Gitter (bei R=100)
Zeitableitung der Dichte
Zeitableitung von vx
Ergebnisse für die Rotation für verschiedene Reynoldszahlen und Gitter (bei R=10)
Rotation
Rotation der normierten Geschwindigkeit
Ergebnisse für die Rotation für verschiedene Reynoldszahlen und Gitter (bei R=100)
Rotation
Rotation der normierten Geschwindigkeit

Interpretation

Symmetrie S

Die Symmetrie S zeigt für v einen stetigen Übergang von L1 in L2. Daher wurde zusätzlich die Rotation betrachtet. Hierbei ist dasselbe aufgefallen, weshalb die normierte Geschwindigkeit betrachtet wurde. Für die normierte Geschwindigkeiten vx/v und vy/v weißt die Symmetrie S einen Knick bei Re6 auf.

Rotation R

Die reine Rotation ist beim Übergang von L1 nach L2 auch stetig, allerdings weißt die Rotation des normierten Vektorfelds eine klare Kante auf. Ab einem Bestimmten Punkt entstehen also Wirbel. Um herauszufinden, ob dieser Punkt von der Auflösung des Gitters abhängt, sollten mehrere Gitterauflösungen betrachtet werden. Es wäre durchaus möglich, dass der Sprung nur entsteht, weil die Wirbel erst ab einer Bestimmten Größe (ca. 2 Gitterzellen) vom Gitter aufgelöst werden können. Wie die Abbildungen zeigen, ist dies nicht der Fall, es gibt also eine inhärente minimale Wirbelgröße. Die ersten Wirbel entstehen bei Re=6Re=6.5.

Der Übergang von L1 in L2 scheint also bei etwa Re=6 stattzufinden.

Zeitableitung Ct

Für einen kleinen Außenradius (R=10) scheint der Übergang durch Re=60 markiert zu sein, dies ist allerdings scheinbar durch Randeffekte bedingt, da der Übergang für R=100 schon früher stattfindet. Dies wäre auch in besserer Übereinstimmung mit der Literatur, welche einen Übergang bei 30<Re<48 angibt. Um hier den Übergangsbereich zu untersuchen, läuft gerade eine Simulation mit mit R=100 für kleinere Reynoldszahlen.