BA Fynn Wawrzyniak
Einströmgeschwindigkeit konstant
Damit die Auflösung des Grids für verschiedene Machzahlen nicht geändert werden muss, wird die Einströmgeschwindikeit als konstant gewählt und die Schallgeschwindigkeit variiert. Für die Schallgeschwindigkeit gilt:
\begin{align} \frac{v_{\infty}}{\mathcal{M}} = c_{\infty} = \sqrt{\gamma \cdot \frac{p_{\infty}}{\rho_{\infty}}} \end{align} \( \) Wenn die Einströmgeschwindigkeit \(v_{\infty}\) und die Dichte \( \rho_{\infty} \) als Konstanten gegeben sind und die Machzahl \( \mathcal{M} \) sowie der adiabatische Index \( \gamma \) als unabhängige Parameter einstellbar sind, lässt sich der Druck in folgender Form ausdrücken:
\begin{align} p_{\infty} = \frac{\rho_{\infty}}{\gamma} \biggl( \frac{v_{\infty}}{\mathcal{M}} \biggr)^2 \end{align}
Oder auch:
\begin{align} p_{\infty} = \frac{\rho_{\infty}}{\gamma} c_{\infty}^2 \end{align}
Des Weiteren gilt für den Druck folgender Zusammenhang mit der Temperatur:
\begin{align} p_{\infty} = \frac{\rho_{\infty} T_{\infty} R}{\mu} \end{align}
Hier ist \( R \) die Gaskonstante und \( \mu \) die molare Masse. Aus diesem beiden Gleichungen folgt diese Proportionalität, wenn für verschiedene Mach Zahlen die Einströmgeschwindigkeit konstant bleiben soll:
\begin{align} T \propto \frac{1}{\mathcal{M}^2} \end{align}
Charakteristische Radien als Funktion der Mach-Zahl
\begin{align} R_\text{dyn} &= 2\frac{GM}{v^2} = 2\frac{GM}{\mathcal M^2c_\infty^2}\qquad(\text{aka }R_\text{A})\\ R_\text{Bondi} &= 2\frac{GM}{c_\infty^2} = 2\mathcal M^2\frac{GM}{v^2} \end{align}
D.h. je nachdem, ob man die Machzahl durch Variation (i) von \(v\) oder (ii) von \(p_\infty\) (\(\Rightarrow c_\infty=\sqrt{\gamma\,p_\infty/\rho_\infty}\), s.o.) einstellt, ändert sich \(R_\text{dyn}\) bzw. \(R_\text{Bondi}\), während der jeweils andere konstant bleibt. (Wichtig für den Vergleich mit Shaghies Daten!) Für die Untersuchung verschiedener \(\mathcal M>1\) bei konstant guter Auflösung (\(R_\text{min}\ll R_\text{dyn}\ll R_\text{Bondi}\)) ist Variante (ii) praktischer.
Probleme und offene Fragen
(auf eigener Seite)