BA Fynn Wawrzyniak

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Einströmgeschwindigkeit konstant

Damit die Auflösung des Grids für verschiedene Machzahlen nicht geändert werden muss, wird die Einströmgeschwindikeit als konstant gewählt und die Schallgeschwindigkeit variiert. Für die Schallgeschwindigkeit gilt:

$$\begin{array}{r}\frac{v_{\mathrm{\infty }}}{\mathcal{M}}=c_{\mathrm{\infty }}=\sqrt{\gamma \cdot \frac{p_{\mathrm{\infty }}}{{\rho }_{\mathrm{\infty }}}}\end{array}$$ $$ Wenn die Einströmgeschwindigkeit $v_{\mathrm{\infty }}$ und die Dichte ${\rho }_{\mathrm{\infty }}$ als Konstanten gegeben sind und die Machzahl $\mathcal{M}$ sowie der adiabatische Index $\gamma$ als unabhängige Parameter einstellbar sind, lässt sich der Druck in folgender Form ausdrücken:

$$\begin{array}{r}{p}_{\mathrm{\infty }}=\frac{{\rho }_{\mathrm{\infty }}}{\gamma }(\frac{v_{\mathrm{\infty }}}{\mathcal{M}}{)}^2\end{array}$$

Oder auch:

$$\begin{array}{r}{p}_{\mathrm{\infty }}=\frac{{\rho }_{\mathrm{\infty }}}{\gamma }{c}_{\mathrm{\infty }}^2\end{array}$$

Des Weiteren gilt für den Druck folgender Zusammenhang mit der Temperatur:

$$\begin{array}{r}{p}_{\mathrm{\infty }}=\frac{{\rho }_{\mathrm{\infty }}{T}_{\mathrm{\infty }}R}{\mu }\end{array}$$

Hier ist $R$ die Gaskonstante und $\mu$ die molare Masse. Aus diesem beiden Gleichungen folgt diese Proportionalität, wenn für verschiedene Mach Zahlen die Einströmgeschwindigkeit konstant bleiben soll:

$$\begin{array}{r}T\propto \frac{1}{{\mathcal{M}}^2}\end{array}$$

Charakteristische Radien als Funktion der Mach-Zahl

$$\begin{array}{rl}{R}_{\text{dyn}}& =2\frac{GM}{v^2}=2\frac{GM}{{\mathcal{M}}^2{c}_{\mathrm{\infty }}^2}(\text{aka }{R}_{\text{A}})\\ R_{\text{Bondi}}& =2\frac{GM}{c_{\mathrm{\infty }}^2}=2{\mathcal{M}}^2\frac{GM}{v^2}\end{array}$$

D.h. je nachdem, ob man die Machzahl durch Variation (i) von $v$ oder (ii) von $p_{\mathrm{\infty }}$ ($\Rightarrow c_{\mathrm{\infty }}=\sqrt{\gamma p_{\mathrm{\infty }}/{\rho }_{\mathrm{\infty }}}$, s.o.) einstellt, ändert sich $R_{\text{dyn}}$ bzw. $R_{\text{Bondi}}$, während der jeweils andere konstant bleibt. (Wichtig für den Vergleich mit Shaghies Daten!) Für die Untersuchung verschiedener $\mathcal{M}>1$ bei konstant guter Auflösung ($R_{\text{min}}\ll R_{\text{dyn}}\ll R_{\text{Bondi}}$) ist Variante (ii) praktischer.

Probleme und offene Fragen

(auf eigener Seite)