MUSCL-Schema

Monotonic Upstream-centered Scheme for Conservation Laws

Ursprung: van Leers Towards the Ultimate Conservative Difference Scheme von 1979

Wir diskutieren zunächst die Wikipedia-Darstellung mit Nomenklatur: \(u\) ist ein Spaltenvektor aus allen betrachteten Dichten, \(F(u)\) ist eine vektorwertige Funktion, die die dazugehörigen Stromdichten (oder auch fluxes bzw. Flüsse) liefert.

Die Dichte \(u\) auf den Zellgrenzen, also \(u^{L/R}_{i\pm 1/2}\), wird ähnlich zur Vorlesung mittels linearer Extrapolation gewonnen, jedoch wird nicht die Korrektur 2. Ordnung des Flusses der Limiter-Funktion \(\phi\) unterworfen, sondern die lineare Extrapolation selbst ("slope limited, reconstructed left and right states").

Die Konstruktion der Flüsse auf den Zellgrenzen, genannt \(F^*_{i\pm 1/2}\), hängt vom konkreten verwendeten Schema ab, wobei missverständlicherweise \(F^*_{i\pm 1/2}=F(u^*_{i\pm 1/2})\) suggeriert und \(u^*_{i\pm 1/2}\) nirgends definiert wird. Das vorgestellte Schema von Kurganov and Tadmor konstruiert die Flüsse \(F^*_{i\pm 1/2}\) aus den Funktionswerten \(F(u^{L/R}_{i\pm 1/2})\) selbst und aus den Eigenwerten der Jacobi-Matrix von \(F\).

Kommt das Schema von Nessyahu und Tadmor, ein Vorläufer des KT-Schemas, ohne die Eigenwerte der Jacobi-Matrix aus?