Revision as of 21:01, 17 April 2024

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Stokes-Fluss um eine Kugel

Kraftberechnung

$\begin{matrix} \vec{F} = \iint_{\partial K} \underset{―}{\underset{―}{σ}} \cdot d \vec{S} \\ und F_{z} = {\vec{e}}_{z} \cdot \iint_{\partial K} \underset{―}{\underset{―}{σ}} \cdot d \vec{S} = \iint_{\partial K} {\vec{e}}_{z} \cdot \underset{―}{\underset{―}{σ}} \cdot d \vec{S} \overset{Kugel}{=} \iint_{\partial K} {\vec{e}}_{z} \cdot \underset{―}{\underset{―}{σ}} \cdot {\vec{e}}_{r} d S \end{matrix}$ Bei Zylindersymmetrie und Verwendung von KK wird daraus $\begin{aligned} F_{z} & = \int_{0}^{π} \int_{0}^{2 π} ({\vec{e}}_{r} \cos θ - {\vec{e}}_{θ} \sin θ) \cdot \underset{―}{\underset{―}{σ}} (r = R, θ) \cdot {\vec{e}}_{r} R^{2} \sin θ d ϕ d θ \\ = 2 π R^{2} \int_{0}^{π} (σ_{r r} (r = R, θ) \cos θ \sin θ - σ_{θ r} (r = R, θ) \sin^{2} θ) d θ \end{aligned}$

Dabei lautet der Spannungstensor (s. auch Wikipedia) $\underset{―}{\underset{―}{σ}} = \dots$ und bei der Formulierung von $\vec{\nabla} \vec{u}$ und $\vec{\nabla} \cdot \vec{u}$ in KK hilft ebenfalls die Wikipedia. Die Komponenten des Einheitstensors $1$ schließlich bilden in jeder Basis die Einheitsmatrix.

Kraftberechnung (Emilio)

Die Kraft, welche auf die umströmte Kugel wirkt, ist gegeben durch folgendes Oberflächenintegral: $\begin{array}{r} \vec{F} = \oint_{\partial V} \underset{―}{\underset{―}{σ}} \cdot d \vec{A} \end{array}$

Dabei gilt für ein Oberflächenelement $\text d\vec{A}$ einer Kugel mit Radius $r=R$, in Kugelkoordinaten: $\begin{array}{r} d \vec{A} = R^{2} \sin (Θ) d φ d Θ {\vec{e}}_{r} \end{array}$

Einsetzen und weitere Berechnung in Kugelkoordinaten liefert: $\begin{array}{r} \vec{F} = \int_{0}^{π} \int_{0}^{2 π} \underset{―}{\underset{―}{σ}} (r = R, Θ, φ) \cdot {\vec{e}}_{r} R^{2} \sin (Θ) d φ d Θ \end{array}$

Auswerten des Matrix-Vektor-Produktes liefert, dass nur die $rr$-, $\Theta r$- und $\varphi r$-Komponenten des Spannungstensors multipliziert mit entsprechenden Basisvektoren übrig bleiben. Es gilt also: $\begin{array}{r} \vec{F} = \int_{0}^{π} \int_{0}^{2 π} [σ_{r r} {\vec{e}}_{r} + σ_{Θ r} {\vec{e}}_{Θ} + σ_{φ r} {\vec{e}}_{φ}] R^{2} \sin (Θ) d φ d Θ \end{array}$

Mit der Annahme, dass vorliegendes Problem Zylindersymmetrie hat, lässt sich folgern, dass der Spannungstensor und damit auch dessen Komponenten unabhängig von $\varphi$ ist, weshalb gelten muss: $\begin{array}{r} σ_{φ r} = 0 \end{array}$

Damit kann nun das Integral über $\varphi$ berechnet werden: $\begin{array}{r} \vec{F} = 2 π R^{2} \int_{0}^{π} [σ_{r r} {\vec{e}}_{r} + σ_{Θ r} {\vec{e}}_{Θ}] \sin (Θ) d Θ \end{array}$

Um nun das Integral über $\Theta$ berechnen zu können, wird die explizite Form des Spannungstensors, für dieses Problem benötigt. Im Allgemeinen ist der Spannungstensor für reale, newtonsche Fluide gegeben durch: $\begin{array}{r} \underset{―}{\underset{―}{σ}} = - [p - ζ (\vec{\nabla} \cdot \vec{u})] 1 + μ [\vec{\nabla} \vec{u} + (\vec{\nabla} \vec{u})^{T} - \frac{2}{3} (\vec{\nabla} \cdot \vec{u}) 1] \end{array}$

Dabei ist $\zeta$ die Volumenviskosität, welche jedoch aufgrund \colorbox{yellow}{Begründung}, vernachlässigt werden kann. Damit folgt: $\begin{array}{r} \underset{―}{\underset{―}{σ}} = - p 1 + μ [\vec{\nabla} \vec{u} + (\vec{\nabla} \vec{u})^{T} \frac{2}{3} (\vec{\nabla} \cdot \vec{u}) 1] \end{array}$

Dabei ist $\mathbb{1}$ der Einheitstensor, $\mu$ die dynamische Viskosität und $\vec{u}$ die Geschwindigkeit des Fluides. Aufgrund dessen, dass bei der Kraftberechnung in Kugelkoordinaten nur die $rr$- und $\Theta r$-Komponente des Spannungstensors eingehen, werden im Folgenden auch nur diese bestimmt. Die $rr$-Komponente ist dabei gegeben durch: $\begin{array}{r} σ_{r r} = - p + μ [2 \vec{\nabla} {\vec{u}}_{r r} - \frac{2}{3} \vec{\nabla} \cdot \vec{u}] \end{array}$

Hierbei ist $\vec{\nabla}\vec{u}_{rr}$ die $rr$-Komponente des Vektorgradienten $\vec{\nabla}\vec{u}$, welche gegeben ist durch: $\begin{array}{r} \vec{\nabla} {\vec{u}}_{r r} = \frac{\partial u_{r}}{\partial r} \end{array}$

Die Divergenz, des Geschwindigkeitsfeldes, ist bei Zylindersymmetrie gegeben durch: $\begin{array}{r} \vec{\nabla} \cdot \vec{u} = \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial r^{2} u_{r}}{\partial r} + \frac{1}{r \sin (Θ)} \frac{\partial \sin (Θ) u_{Θ}}{\partial Θ} \end{array}$

Einsetzen in die $rr$-Komponente des Vektorgradienten liefert: $\begin{array}{r} σ_{r r} = - p + μ [2 \frac{\partial u_{r}}{\partial r} - \frac{2}{3} (\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial r^{2} u_{r}}{\partial r} + \frac{1}{r \sin (Θ)} \frac{\partial \sin (Θ) u_{Θ}}{\partial Θ})] \end{array}$

Aufgrund dessen, dass bei der Kraftberechnung das Oberflächenintegral über eine Kugel mit dem Radius $r=R$ bestimmt wird, muss zusätzlich gelten: $\begin{array}{r} σ_{r r} = - p + μ [2 \frac{\partial u_{r}}{\partial r} |_{r = R} - \frac{2}{3} (\frac{1}{R^{2}} \frac{\partial r^{2} u_{r}}{\partial r} |_{r = R} + \frac{1}{R \sin (Θ)} \frac{\partial \sin (Θ) u_{Θ}}{\partial Θ} |_{r = R})] \end{array}$

Die $\Theta r$-Komponente ist analog gegeben durch: $\begin{array}{r} σ_{Θ r} = - p + μ [\vec{\nabla} {\vec{u}}_{Θ r} + \vec{\nabla} {\vec{u}}_{r Θ} - \frac{2}{3} \vec{\nabla} \cdot \vec{u}] \end{array}$

Einsetzen der jeweiligen Komponenten des Vektorgradienten und der Divergenz und Auswerten an $r=R$ liefert: $\begin{array}{r} σ_{Θ r} = - p + μ [\frac{\partial u_{Θ}}{\partial r} |_{r = R} + \frac{1}{R^{2}} \frac{\partial u_{r}}{\partial Θ} |_{r = R} - \frac{u_{Θ}}{R} |_{r = R} - \frac{2}{3} (\frac{1}{R^{2}} \frac{\partial r^{2} u_{r}}{\partial r} |_{r = R} + \frac{1}{R \sin (Θ)} \frac{\partial \sin (Θ) u_{Θ}}{\partial Θ} |_{r = R})] \end{array}$

@@ Line 22: / Line 22: @@
 \end{equation}
 und bei der Formulierung von  $\vec{\nabla} \vec{u}$  und  $\vec{\nabla} \cdot \vec{u}$  in KK hilft ebenfalls die [https://en.wikipedia.org/wiki/Del_in_cylindrical_and_spherical_coordinates#Del_formula Wikipedia]. Die Komponenten des Einheitstensors  $1$  schließlich bilden in jeder Basis die Einheitsmatrix.
+== Kraftberechnung (Emilio)==
+Die Kraft, welche auf die umströmte Kugel wirkt, ist gegeben durch folgendes Oberflächenintegral:
+\begin{align}
+\vec{F}=\oint_{\partial V} \underline{\underline\sigma}\cdot\text d\vec A
+\end{align}
+Dabei gilt für ein Oberflächenelement $\text d\vec{A}$ einer Kugel mit Radius $r=R$, in Kugelkoordinaten:
+\begin{align}
+\text d\vec{A}=R^2\sin(\Theta)\text d\varphi\text d\Theta\vec{e}_r
+\end{align}
+Einsetzen und weitere Berechnung in Kugelkoordinaten liefert:
+\begin{align}
+\vec{F}=\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\pi}\underline{\underline\sigma}(r=R,\Theta,\varphi)\cdot\vec{e}_r
+R^2\sin(\Theta)\text d\varphi\text d\Theta
+\end{align}
+Auswerten des Matrix-Vektor-Produktes liefert, dass nur die $rr$-, $\Theta r$- und $\varphi r$-Komponenten des Spannungstensors multipliziert mit entsprechenden Basisvektoren übrig bleiben. Es gilt also:
+\begin{align}
+\vec{F}=\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\pi}[\sigma_{rr}\vec{e}_r+\sigma_{\Theta r}\vec{e}_{\Theta}
++\sigma_{\varphi r}\vec{e}_{\varphi}]R^2\sin(\Theta)\text d\varphi\text d\Theta
+\end{align}
+Mit der Annahme, dass vorliegendes Problem Zylindersymmetrie hat, lässt sich folgern, dass der Spannungstensor und damit auch dessen Komponenten unabhängig von $\varphi$ ist, weshalb gelten muss:
+\begin{align}
+\sigma_{\varphi r}=0
+\end{align}
+Damit kann nun das Integral über $\varphi$ berechnet werden:
+\begin{align}
+\vec{F}=2\pi R^2\int_{0}^{\pi}[\sigma_{rr}\vec{e}_r+
+\sigma_{\Theta r}\vec{e}_{\Theta}]\sin(\Theta)\text d\Theta
+\end{align}
+Um nun das Integral über $\Theta$ berechnen zu können, wird die explizite Form des Spannungstensors, für dieses Problem benötigt. Im Allgemeinen ist der Spannungstensor für reale, newtonsche Fluide gegeben durch:
+\begin{align}
+\underline{\underline\sigma}=
+-\bigg[p-\zeta(\vec{\nabla}\cdot\vec{u})\bigg]\mathbb{1}
++\mu\bigg[\vec{\nabla}\vec{u}+(\vec{\nabla}\vec{u})^T
+-\frac{2}{3}(\vec{\nabla}\cdot\vec{u})\mathbb{1}\bigg]
+\end{align}
+Dabei ist $\zeta$ die Volumenviskosität, welche jedoch aufgrund \colorbox{yellow}{Begründung}, vernachlässigt werden kann. Damit folgt:
+\begin{align}
+\underline{\underline\sigma}=
+-p\mathbb{1}
++\mu\bigg[\vec{\nabla}\vec{u}+(\vec{\nabla}\vec{u})^T
+\frac{2}{3}(\vec{\nabla}\cdot\vec{u})\mathbb{1}\bigg]
+\end{align}
+Dabei ist $\mathbb{1}$ der Einheitstensor, $\mu$ die dynamische Viskosität und $\vec{u}$ die Geschwindigkeit des Fluides.
+Aufgrund dessen, dass bei der Kraftberechnung in Kugelkoordinaten nur die $rr$- und $\Theta r$-Komponente des Spannungstensors eingehen, werden im Folgenden auch nur diese bestimmt. Die $rr$-Komponente ist dabei gegeben durch:
+\begin{align}
+\sigma_{rr}=-p+\mu\bigg[2\vec{\nabla}\vec{u}_{rr}
+-\frac{2}{3}\vec{\nabla}\cdot\vec{u}\bigg]
+\end{align}
+Hierbei ist $\vec{\nabla}\vec{u}_{rr}$ die $rr$-Komponente des Vektorgradienten $\vec{\nabla}\vec{u}$, welche gegeben ist durch:
+\begin{align}
+\vec{\nabla}\vec{u}_{rr}=\frac{\partial u_r}{\partial r}
+\end{align}
+Die Divergenz, des Geschwindigkeitsfeldes, ist bei Zylindersymmetrie gegeben durch:
+\begin{align}
+\vec{\nabla}\cdot\vec{u}=
+\frac{1}{r^2}\frac{\partial r^2 u_r}{\partial r}
++\frac{1}{r\sin(\Theta)}
+\frac{\partial \sin(\Theta)u_{\Theta}}{\partial\Theta}
+\end{align}
+Einsetzen in die $rr$-Komponente des Vektorgradienten liefert:
+\begin{align}
+\sigma_{rr}=-p
++\mu\bigg[2\frac{\partial u_r}{\partial r}-\frac{2}{3}\bigg(\frac{1}{r^2}\frac{\partial r^2 u_r}{\partial r}
++\frac{1}{r\sin(\Theta)}\frac{\partial \sin(\Theta)u_{\Theta}}{\partial\Theta}\bigg)\bigg]
+\end{align}
+Aufgrund dessen, dass bei der Kraftberechnung das Oberflächenintegral über eine Kugel mit dem Radius $r=R$ bestimmt wird, muss zusätzlich gelten:
+\begin{align}
+\sigma_{rr}=-p+\mu\bigg[2\frac{\partial u_r}{\partial r}\Big|_{r=R}-\frac{2}{3}\bigg(\frac{1}{R^2}
+\frac{\partial r^2 u_r}{\partial r}\Big|_{r=R}+\frac{1}{R\sin(\Theta)}
+\frac{\partial \sin(\Theta)u_{\Theta}}{\partial\Theta}\Big|_{r=R}\bigg)\bigg]
+\end{align}
+Die $\Theta r$-Komponente ist analog gegeben durch:
+\begin{align}
+\sigma_{\Theta r}=-p+\mu\bigg[\vec{\nabla}\vec{u}_{\Theta r}+\vec{\nabla}\vec{u}_{r\Theta}
+-\frac{2}{3}\vec{\nabla}\cdot\vec{u}\bigg]
+\end{align}
+Einsetzen der jeweiligen Komponenten des Vektorgradienten und der Divergenz und Auswerten an $r=R$ liefert:
+\begin{align}
+\sigma_{\Theta r}=-p+\mu\bigg[\frac{\partial u_{\Theta}}{\partial r}\Big|_{r=R}+\frac{1}{R^2}
+\frac{\partial u_r}{\partial\Theta}\Big|_{r=R}-\frac{u_{\Theta}}{R}\Big|_{r=R}-\frac{2}{3}\bigg(\frac{1}{R^2}
+\frac{\partial r^2 u_r}{\partial r}\Big|_{r=R}+\frac{1}{R\sin(\Theta)}
+\frac{\partial \sin(\Theta)u_{\Theta}}{\partial\Theta}\Big|_{r=R}\bigg)\bigg]
+\end{align}

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