BA Emilio Schmidt

(Der Echtzeit-Previewer rendert leider keine Formeln. Am besten stets mit "edit source" statt dem visual "edit" arbeiten und bitte ausgiebig den Knopf "Show preview" benutzen anstatt zig mal abzuspeichern. Diskussionen sollten unter Discussion geführt werden. -- Lothar)

Stokes-Fluss um eine Kugel

Kraftberechnung

$$\begin{array}{c}\overrightarrow{F}=\underset{\partial K}{\iint }\underset{―}{\underset{―}{\sigma }}\cdot \text{d}\overrightarrow{S}\\ \text{und}{F}_z={\overrightarrow{e}}_z\cdot \underset{\partial K}{\iint }\underset{―}{\underset{―}{\sigma }}\cdot \text{d}\overrightarrow{S}=\underset{\partial K}{\iint }{\overrightarrow{e}}_z\cdot \underset{―}{\underset{―}{\sigma }}\cdot \text{d}\overrightarrow{S}\stackrel{\text{Kugel}}{=}\underset{\partial K}{\iint }{\overrightarrow{e}}_z\cdot \underset{―}{\underset{―}{\sigma }}\cdot {\overrightarrow{e}}_r\text{d}S\end{array}$$ Bei Zylindersymmetrie und Verwendung von KK wird daraus $$\begin{array}{rl}{F}_z& ={\int }_0^{\pi }{\int }_0^{2\pi }({\overrightarrow{e}}_r\cos \theta -{\overrightarrow{e}}_{\theta }\sin \theta )\cdot \underset{―}{\underset{―}{\sigma }}(r=R,\theta )\cdot {\overrightarrow{e}}_r{R}^2\sin \theta \text{d}\varphi \text{d}\theta \\ & =2\pi R^2{\int }_0^{\pi }({\sigma }_{rr}(r=R,\theta )\cos \theta \sin \theta -{\sigma }_{\theta r}(r=R,\theta ){\sin }^2\theta )\text{d}\theta \end{array}$$

Dabei lautet der Spannungstensor (s. auch Wikipedia) $$\underset{―}{\underset{―}{\sigma }}=\dots$$ und bei der Formulierung von $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{u}$ hilft ebenfalls die Wikipedia. Die Komponenten des Einheitstensors $\mathbb{1}$ schließlich bilden in jeder Basis die Einheitsmatrix.