Talk:BA Emilio Schmidt - Revision history

Emilio.S: Von Hauptseite weg

2024-06-07T15:46:04Z

Von Hauptseite weg

← Older revision		Revision as of 17:46, 7 June 2024
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	* Bleiben bei Halbierung der Reynoldszahl die ''relativen'' Abweichungen gleich?		* Bleiben bei Halbierung der Reynoldszahl die ''relativen'' Abweichungen gleich?
	* Wie wirkt sich ein größerer Außenradius aus? --[[User:Lothar.brendel\|Lothar]] ([[User talk:Lothar.brendel\|talk]]) 17:43, 16 May 2024 (CEST)		* Wie wirkt sich ein größerer Außenradius aus? --[[User:Lothar.brendel\|Lothar]] ([[User talk:Lothar.brendel\|talk]]) 17:43, 16 May 2024 (CEST)

			= Viskosität, dynamisch vs. kinematisch =

			Von den beiden, \(\mu=\nu\rho\), ist keine ein wirklicher Materialparameter, doch die dynamische Viskosität hängt nur von der Temperatur (und von [https://en.wikipedia.org/wiki/Chapman%E2%80%93Enskog_theory#Predictions WW-Details der Fluid-Partikel]) ab. Da im Stokes-Regime die Temperatur-Änderung klein sein sollte, ist es also sinnvoller, \(\mu\) als "Materialparameter" vorzugeben.

			Die Viskosität wird in der Funktion <code>Visc_nu()</code> in visc_nu.c berechnet, ein Aufruf pro Zelle. Trotz der Namen <code>nu1</code> (Scherv.) und <code>nu2</code> (Volumenv.) handelt es sich um die ''dynamischen'' Viskositäten. Beim Vorgeben von \(\mu\) sollte \(\rho\) (im Code <code>v[RHO]</code>) also gar nicht auftauchen. Verwendet man obige "zähe Einheiten", so wird die Funktion besonders einfach:

			<syntaxhighlight lang="C">
			void Visc_nu(double v, double x1, double x2, double x3, double nu1, double *nu2)
			/* ... */
			{
			nu1 = 1.0; nu2 = 0.0;
			}
			</syntaxhighlight>

Lothar.brendel: /* Fehler in der numerischen Kraftberechnung */ nächste Fragen

2024-05-16T15:44:14Z

Fehler in der numerischen Kraftberechnung: nächste Fragen

← Older revision		Revision as of 17:44, 16 May 2024
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	[[File:BA-ES-Radiale-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|500px\|thumb\|center\|Abb.5: Radiale Geschwindigkeit \(u_{r}\) der ersten beiden Zellschalen, für eine Reynoldszahl von \(Re=\frac{1}{100}\) und einer Auflösung vom Faktor \(8\), aufgetragen über den Winkel \(\theta\)]]		[[File:BA-ES-Radiale-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|500px\|thumb\|center\|Abb.5: Radiale Geschwindigkeit \(u_{r}\) der ersten beiden Zellschalen, für eine Reynoldszahl von \(Re=\frac{1}{100}\) und einer Auflösung vom Faktor \(8\), aufgetragen über den Winkel \(\theta\)]]

			Ich finde, der Abschnitt mit den Plots könnten eigentlich auf die Hauptseite. Aktuelle Fragen:
			* Bleiben bei Halbierung der Reynoldszahl die ''relativen'' Abweichungen gleich?
			* Wie wirkt sich ein größerer Außenradius aus? --[[User:Lothar.brendel\|Lothar]] ([[User talk:Lothar.brendel\|talk]]) 17:43, 16 May 2024 (CEST)

Lothar.brendel: /* Fehler in der numerischen Kraftberechnung */ Abb-Platzierung

2024-05-16T15:39:58Z

Fehler in der numerischen Kraftberechnung: Abb-Platzierung

← Older revision		Revision as of 17:39, 16 May 2024
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	= Fehler in der numerischen Kraftberechnung =		= Fehler in der numerischen Kraftberechnung =

	[[File:BA-ES-Fehler-Kraft-Relative-Kraftabweichung-verschiedene-Grids.png~~\|500px\|thumb~~\|Abb.1~~: Relative Kraftabweichung von der theoretisch erwarteten Kraft aufgetragen über das Verhältnis der Auflösung bzgl. des Ausgangsgrids~~]]		Es stellt sich heraus, dass die relative Kraftabweichung, selbst für vergleichsweise hohe Auflösungen, trotz der Auflösung im Bereich von ungefähr \(20\;\%\) liegt. Dies lässt sich auch anhand [[:File:BA-ES-Fehler-Kraft-Relative-Kraftabweichung-verschiedene-Grids.png\|Abb.1]] erkennen.

	~~Es stellt sich heraus, dass die relative~~ Kraftabweichung~~, selbst für vergleichsweise hohe Auflösungen, im Bereich~~ von ~~ungefähr \(20\;\%\) liegt~~.		[[File:BA-ES-Fehler-Kraft-Relative-Kraftabweichung-verschiedene-Grids.png\|thumb\|center\|500px\|Abb.1: Relative Kraftabweichung von der theoretisch erwarteten Kraft aufgetragen über das Verhältnis der Auflösung bzgl. des Ausgangsgrids]]

	~~Es stellt sich heraus~~, ~~dass~~ die ~~relative Kraftabweichung, selbst~~ für ~~vergleichsweise hohe Auflösungen, trotz der Auflösung im Bereich~~ von ~~ungefähr~~ \(20\~~;\%~~\) ~~liegt~~. ~~Dies lässt sich auch anhand~~ [[:File:BA-ES-~~Fehler-Kraft-Relative-Kraftabweichung~~-verschiedene-Grids.png\|Abb.1]] erkennen.		Dieser Fehler könnte jedoch viele Ursachen haben. Eine davon könnte die numerisch durchgeführte Integration sein, welche einer einfachen Summation entspricht. Um dies zu überprüfen, wird zunächst das Oberflächenintegral über die Kugel bestimmt. Dabei wird analytisch für eine Kugel mit Radius \(R=1\) eine Kugeloberfläche von \(A=4\pi\) erwartet. In [[:File:BA-ES-Oberfl%C3%A4chenintegral-verschiedene-Grids.png\|Abb.2]] sind die numerisch berechneten Oberflächenintegrale für die jeweiligen Grids aufgetragen und es lässt sich erkennen, dass der analytische Wert für eine Auflösung vom Faktor 8 schon sehr gut genähert wird. Daher lässt sich vermuten, dass die numerische Integration nicht der Grund für den Fehler in der Kraftberechnung ist.

	Dieser Fehler könnte jedoch viele Ursachen haben. Eine davon könnte die numerisch durchgeführte Integration sein, welche einer einfachen Summation entspricht. Um dies zu überprüfen, wird zunächst das Oberflächenintegral über die Kugel bestimmt. Dabei wird analytisch für eine Kugel mit Radius \(R=1\) eine Kugeloberfläche von \(A=4\pi\) erwartet. In [[:File:BA-ES-~~Oberfl%C3%A4chenintegral~~-verschiedene-Grids.png\|Abb.2]] sind die numerisch berechneten Oberflächenintegrale für die jeweiligen Grids aufgetragen und es lässt sich erkennen, dass der analytische Wert für eine Auflösung vom Faktor 8 schon sehr gut genähert wird. Daher lässt sich vermuten, dass die numerische Integration nicht der Grund für den Fehler in der Kraftberechnung ist.		[[File:BA-ES-Oberflächenintegral-verschiedene-Grids.png\|500px\|thumb\|center\|Abb.2: Numerisch berechnetes Oberflächenintegral aufgetragen über die jeweilige Auflösung des Grids]]

	Daher muss der Fehler entweder durch die Druckverteilung oder das Geschwindigkeitsfeld kommen. Um dies zu untersuchen wird zunächst die Druckverteilung für die ersten beiden Zellschalen um die Kugel untersucht. In In [[:File:BA-ES-Druckverlauf-ersten-beiden-Zellschalen.png\|Abb.3]] lässt sich erkennen, dass die analytischen Lösungen bzw. die numerischen Lösungen für die ersten beiden Zellschalen nahezu perfekt übereinander liegen. Auch weisen die numerischen Lösungen einen kosinusförmigen Verlauf auf, genau, wie analytisch erwartet. Jedoch ist die numerische Lösung für \(\theta<\frac{\pi}{2}\) stets größer bzw. für \(\theta>\frac{\pi}{2}\) stets kleiner als die analytische Lösung. Die Peaks der numerischen Lösungen weichen hierbei um ungefähr \(20\;\%\) von der jeweiligen analytischen Lösung ab.		Daher muss der Fehler entweder durch die Druckverteilung oder das Geschwindigkeitsfeld kommen. Um dies zu untersuchen wird zunächst die Druckverteilung für die ersten beiden Zellschalen um die Kugel untersucht. In In [[:File:BA-ES-Druckverlauf-ersten-beiden-Zellschalen.png\|Abb.3]] lässt sich erkennen, dass die analytischen Lösungen bzw. die numerischen Lösungen für die ersten beiden Zellschalen nahezu perfekt übereinander liegen. Auch weisen die numerischen Lösungen einen kosinusförmigen Verlauf auf, genau, wie analytisch erwartet. Jedoch ist die numerische Lösung für \(\theta<\frac{\pi}{2}\) stets größer bzw. für \(\theta>\frac{\pi}{2}\) stets kleiner als die analytische Lösung. Die Peaks der numerischen Lösungen weichen hierbei um ungefähr \(20\;\%\) von der jeweiligen analytischen Lösung ab.

			[[File:BA-ES-Druckverlauf-ersten-beiden-Zellschalen.png\|500px\|thumb\|center\|Abb.3: Druckverlauf der ersten beiden Zellschalen, für eine Reynoldszahl von \(Re=\frac{1}{100}\) und einer Auflösung vom Faktor \(8\), aufgetragen über den Winkel \(\theta\)]]

	[[File:BA-ES-~~Oberflächenintegral~~-~~verschiedene~~-~~Grids~~.png~~\|500px\|thumb~~\|Abb.~~2: Numerisch berechnetes Oberflächenintegral aufgetragen über die jeweilige Auflösung des Grids~~]]		Analog lässt sich die polare Geschwindigkeit \(u_{\theta}\) für die ersten beiden Zellschalen um die Kugel untersuchen. In [[:File:BA-ES-Polare-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|Abb.4]] lässt sich dann erkennen, dass die analytischen Lösungen und numerischen Lösungen für die jeweiligen Zellschalen, qualitativ ähnlich verlaufen. Jedoch weichen die Peaks der numerischen Lösungen für beide Zellschalen um ungefähr \(20\;\%\) voneinander ab.

	~~Analog lässt sich die polare Geschwindigkeit \(u_{\theta}\) für die ersten beiden Zellschalen um die Kugel untersuchen. In~~ [[:File:BA-ES-Polare-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|Abb.4~~]] lässt sich dann erkennen, dass die analytischen Lösungen und numerischen Lösungen für die jeweiligen~~ Zellschalen, ~~qualitativ ähnlich verlaufen. Jedoch weichen die Peaks der numerischen Lösungen~~ für ~~beide Zellschalen um ungefähr~~ \(20\;\%\) ~~voneinander ab.~~		[[File:BA-ES-Polare-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|500px\|thumb\|center\|Abb.4: Polare Geschwindigkeit \(u_{\theta}\) der ersten beiden Zellschalen, für eine Reynoldszahl von \(Re=\frac{1}{100}\) und einer Auflösung vom Faktor \(8\), aufgetragen über den Winkel \(\theta\)
			]]

	In [[:File:BA-ES-Radiale-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|Abb.5]] ist selbige Untersuchung, wie in [[:File:BA-ES-Polare-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|Abb.4]], für die radiale Geschwindigkeitskomponente \(u_r\) angestellt worden. Hier fällt auf, dass die jeweiligen numerischen und analytischen Kurven, erneut qualitativ ähnlich verlaufen, außer für die Winkel \(\theta=0\) und \(\theta=\pi\). Außerdem fällt auf, dass die Abweichung der Peaks deutlich größer ist, als in [[:File:BA-ES-Druckverlauf-ersten-beiden-Zellschalen.png\|Abb.3]] und [[:File:BA-ES-Polare-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|Abb.4]]. Für die erste Zellschale weicht die numerische Lösung ungefähr um einen Faktor \(2\) und für die zweite Zellschale um einen Faktor \(1,5\) ab.		In [[:File:BA-ES-Radiale-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|Abb.5]] ist selbige Untersuchung, wie in [[:File:BA-ES-Polare-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|Abb.4]], für die radiale Geschwindigkeitskomponente \(u_r\) angestellt worden. Hier fällt auf, dass die jeweiligen numerischen und analytischen Kurven, erneut qualitativ ähnlich verlaufen, außer für die Winkel \(\theta=0\) und \(\theta=\pi\). Außerdem fällt auf, dass die Abweichung der Peaks deutlich größer ist, als in [[:File:BA-ES-Druckverlauf-ersten-beiden-Zellschalen.png\|Abb.3]] und [[:File:BA-ES-Polare-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|Abb.4]]. Für die erste Zellschale weicht die numerische Lösung ungefähr um einen Faktor \(2\) und für die zweite Zellschale um einen Faktor \(1,5\) ab.

	[[File:BA-ES-Druckverlauf-ersten-beiden-Zellschalen.png\|500px\|thumb\|Abb.3: Druckverlauf der ersten beiden Zellschalen, für eine Reynoldszahl von \(Re=\frac{1}{100}\) und einer Auflösung vom Faktor \(8\), aufgetragen über den Winkel \(\theta\)]]		[[File:BA-ES-Radiale-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|500px\|thumb\|center\|Abb.5: Radiale Geschwindigkeit \(u_{r}\) der ersten beiden Zellschalen, für eine Reynoldszahl von \(Re=\frac{1}{100}\) und einer Auflösung vom Faktor \(8\), aufgetragen über den Winkel \(\theta\)]]

	~~[[File:BA-ES-Polare~~-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|500px\|thumb\|Abb.4: Polare Geschwindigkeit \(u_{\theta}\) der ersten beiden Zellschalen, für eine Reynoldszahl von \(Re=\frac{1}{100}\) und einer Auflösung vom Faktor \(8\), aufgetragen über den Winkel \(\theta\)
	]]

	~~[[File:BA-ES-Radiale-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|500px\|thumb~~\|Abb.5: Radiale Geschwindigkeit \(u_{r}\) der ersten beiden Zellschalen, für eine Reynoldszahl von \(Re=\frac{1}{100}\) und einer Auflösung vom Faktor \(8\), aufgetragen über den Winkel \(\theta\)]]

Emilio.S: /* Fehler in der numerischen Kraftberechnung */ polare Geschwindigkeit ersten beiden Zellschalen

2024-05-16T12:20:55Z

Fehler in der numerischen Kraftberechnung: polare Geschwindigkeit ersten beiden Zellschalen

← Older revision		Revision as of 14:20, 16 May 2024
Line 129:		Line 129:
	Analog lässt sich die polare Geschwindigkeit \(u_{\theta}\) für die ersten beiden Zellschalen um die Kugel untersuchen. In [[:File:BA-ES-Polare-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|Abb.4]] lässt sich dann erkennen, dass die analytischen Lösungen und numerischen Lösungen für die jeweiligen Zellschalen, qualitativ ähnlich verlaufen. Jedoch weichen die Peaks der numerischen Lösungen für beide Zellschalen um ungefähr \(20\;\%\) voneinander ab.		Analog lässt sich die polare Geschwindigkeit \(u_{\theta}\) für die ersten beiden Zellschalen um die Kugel untersuchen. In [[:File:BA-ES-Polare-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|Abb.4]] lässt sich dann erkennen, dass die analytischen Lösungen und numerischen Lösungen für die jeweiligen Zellschalen, qualitativ ähnlich verlaufen. Jedoch weichen die Peaks der numerischen Lösungen für beide Zellschalen um ungefähr \(20\;\%\) voneinander ab.

	In [[:File:BA-ES-Radiale-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|Abb.5]] ist selbige Untersuchung, wie in [[:File:BA-ES-Polare-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|Abb.4]], für die radiale Geschwindigkeitskomponente \(u_r\) angestellt worden. Hier fällt auf, dass die jeweiligen numerischen und analytischen Kurven, erneut qualitativ ähnlich verlaufen, außer für die Winkel \(\theta=0\) und \(theta=\pi\). Außerdem fällt auf, dass die Abweichung der Peaks deutlich größer ist, als in [[:File:BA-ES-Druckverlauf-ersten-beiden-Zellschalen.png\|Abb.3]] und [[:File:BA-ES-Polare-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|Abb.4]]. Für die erste Zellschale weicht die numerische Lösung ungefähr um einen Faktor \(2\) und für die zweite Zellschale um einen Faktor \(1,5\) ab.		In [[:File:BA-ES-Radiale-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|Abb.5]] ist selbige Untersuchung, wie in [[:File:BA-ES-Polare-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|Abb.4]], für die radiale Geschwindigkeitskomponente \(u_r\) angestellt worden. Hier fällt auf, dass die jeweiligen numerischen und analytischen Kurven, erneut qualitativ ähnlich verlaufen, außer für die Winkel \(\theta=0\) und \(\theta=\pi\). Außerdem fällt auf, dass die Abweichung der Peaks deutlich größer ist, als in [[:File:BA-ES-Druckverlauf-ersten-beiden-Zellschalen.png\|Abb.3]] und [[:File:BA-ES-Polare-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|Abb.4]]. Für die erste Zellschale weicht die numerische Lösung ungefähr um einen Faktor \(2\) und für die zweite Zellschale um einen Faktor \(1,5\) ab.

	[[File:BA-ES-Druckverlauf-ersten-beiden-Zellschalen.png\|500px\|thumb\|Abb.3: Druckverlauf der ersten beiden Zellschalen, für eine Reynoldszahl von \(Re=\frac{1}{100}\) und einer Auflösung vom Faktor \(8\), aufgetragen über den Winkel \(\theta\)]]		[[File:BA-ES-Druckverlauf-ersten-beiden-Zellschalen.png\|500px\|thumb\|Abb.3: Druckverlauf der ersten beiden Zellschalen, für eine Reynoldszahl von \(Re=\frac{1}{100}\) und einer Auflösung vom Faktor \(8\), aufgetragen über den Winkel \(\theta\)]]

Emilio.S: /* Fehler in der numerischen Kraftberechnung */ radiale Geschwindigkeit ersten beiden Zellschalen

2024-05-16T12:20:32Z

Fehler in der numerischen Kraftberechnung: radiale Geschwindigkeit ersten beiden Zellschalen

← Older revision		Revision as of 14:20, 16 May 2024
Line 128:		Line 128:

	Analog lässt sich die polare Geschwindigkeit \(u_{\theta}\) für die ersten beiden Zellschalen um die Kugel untersuchen. In [[:File:BA-ES-Polare-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|Abb.4]] lässt sich dann erkennen, dass die analytischen Lösungen und numerischen Lösungen für die jeweiligen Zellschalen, qualitativ ähnlich verlaufen. Jedoch weichen die Peaks der numerischen Lösungen für beide Zellschalen um ungefähr \(20\;\%\) voneinander ab.		Analog lässt sich die polare Geschwindigkeit \(u_{\theta}\) für die ersten beiden Zellschalen um die Kugel untersuchen. In [[:File:BA-ES-Polare-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|Abb.4]] lässt sich dann erkennen, dass die analytischen Lösungen und numerischen Lösungen für die jeweiligen Zellschalen, qualitativ ähnlich verlaufen. Jedoch weichen die Peaks der numerischen Lösungen für beide Zellschalen um ungefähr \(20\;\%\) voneinander ab.

			In [[:File:BA-ES-Radiale-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|Abb.5]] ist selbige Untersuchung, wie in [[:File:BA-ES-Polare-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|Abb.4]], für die radiale Geschwindigkeitskomponente \(u_r\) angestellt worden. Hier fällt auf, dass die jeweiligen numerischen und analytischen Kurven, erneut qualitativ ähnlich verlaufen, außer für die Winkel \(\theta=0\) und \(theta=\pi\). Außerdem fällt auf, dass die Abweichung der Peaks deutlich größer ist, als in [[:File:BA-ES-Druckverlauf-ersten-beiden-Zellschalen.png\|Abb.3]] und [[:File:BA-ES-Polare-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|Abb.4]]. Für die erste Zellschale weicht die numerische Lösung ungefähr um einen Faktor \(2\) und für die zweite Zellschale um einen Faktor \(1,5\) ab.

	[[File:BA-ES-Druckverlauf-ersten-beiden-Zellschalen.png\|500px\|thumb\|Abb.3: Druckverlauf der ersten beiden Zellschalen, für eine Reynoldszahl von \(Re=\frac{1}{100}\) und einer Auflösung vom Faktor \(8\), aufgetragen über den Winkel \(\theta\)]]		[[File:BA-ES-Druckverlauf-ersten-beiden-Zellschalen.png\|500px\|thumb\|Abb.3: Druckverlauf der ersten beiden Zellschalen, für eine Reynoldszahl von \(Re=\frac{1}{100}\) und einer Auflösung vom Faktor \(8\), aufgetragen über den Winkel \(\theta\)]]

Emilio.S: /* Fehler in der numerischen Kraftberechnung */ radiale Geschwindigkeit ersten beiden Zellschalen

2024-05-16T12:11:29Z

Fehler in der numerischen Kraftberechnung: radiale Geschwindigkeit ersten beiden Zellschalen

← Older revision		Revision as of 14:11, 16 May 2024
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	[[File:BA-ES-Druckverlauf-ersten-beiden-Zellschalen.png\|500px\|thumb\|Abb.3: Druckverlauf der ersten beiden Zellschalen, für eine Reynoldszahl von \(Re=\frac{1}{100}\) und einer Auflösung vom Faktor \(8\), aufgetragen über den Winkel \(\theta\)]]		[[File:BA-ES-Druckverlauf-ersten-beiden-Zellschalen.png\|500px\|thumb\|Abb.3: Druckverlauf der ersten beiden Zellschalen, für eine Reynoldszahl von \(Re=\frac{1}{100}\) und einer Auflösung vom Faktor \(8\), aufgetragen über den Winkel \(\theta\)]]

	[[File:BA-ES-Polare-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|500px\|thumb\|Abb.4: Polare Geschwindigkeit \(u_{\theta}\) der ersten beiden Zellschalen, für eine Reynoldszahl von \(Re=\frac{1}{100}\) und einer Auflösung vom Faktor \(8\), aufgetragen über den Winkel \(\theta\)]]		[[File:BA-ES-Polare-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|500px\|thumb\|Abb.4: Polare Geschwindigkeit \(u_{\theta}\) der ersten beiden Zellschalen, für eine Reynoldszahl von \(Re=\frac{1}{100}\) und einer Auflösung vom Faktor \(8\), aufgetragen über den Winkel \(\theta\)
			]]

			[[File:BA-ES-Radiale-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|500px\|thumb\|Abb.5: Radiale Geschwindigkeit \(u_{r}\) der ersten beiden Zellschalen, für eine Reynoldszahl von \(Re=\frac{1}{100}\) und einer Auflösung vom Faktor \(8\), aufgetragen über den Winkel \(\theta\)]]

Emilio.S: /* Fehler in der numerischen Kraftberechnung */

2024-05-16T12:02:41Z

Fehler in der numerischen Kraftberechnung

← Older revision		Revision as of 14:02, 16 May 2024
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	Daher muss der Fehler entweder durch die Druckverteilung oder das Geschwindigkeitsfeld kommen. Um dies zu untersuchen wird zunächst die Druckverteilung für die ersten beiden Zellschalen um die Kugel untersucht. In In [[:File:BA-ES-Druckverlauf-ersten-beiden-Zellschalen.png\|Abb.3]] lässt sich erkennen, dass die analytischen Lösungen bzw. die numerischen Lösungen für die ersten beiden Zellschalen nahezu perfekt übereinander liegen. Auch weisen die numerischen Lösungen einen kosinusförmigen Verlauf auf, genau, wie analytisch erwartet. Jedoch ist die numerische Lösung für \(\theta<\frac{\pi}{2}\) stets größer bzw. für \(\theta>\frac{\pi}{2}\) stets kleiner als die analytische Lösung. Die Peaks der numerischen Lösungen weichen hierbei um ungefähr \(20\;\%\) von der jeweiligen analytischen Lösung ab.		Daher muss der Fehler entweder durch die Druckverteilung oder das Geschwindigkeitsfeld kommen. Um dies zu untersuchen wird zunächst die Druckverteilung für die ersten beiden Zellschalen um die Kugel untersucht. In In [[:File:BA-ES-Druckverlauf-ersten-beiden-Zellschalen.png\|Abb.3]] lässt sich erkennen, dass die analytischen Lösungen bzw. die numerischen Lösungen für die ersten beiden Zellschalen nahezu perfekt übereinander liegen. Auch weisen die numerischen Lösungen einen kosinusförmigen Verlauf auf, genau, wie analytisch erwartet. Jedoch ist die numerische Lösung für \(\theta<\frac{\pi}{2}\) stets größer bzw. für \(\theta>\frac{\pi}{2}\) stets kleiner als die analytische Lösung. Die Peaks der numerischen Lösungen weichen hierbei um ungefähr \(20\;\%\) von der jeweiligen analytischen Lösung ab.

	Analog lässt sich die polare Geschwindigkeit \(u_{\theta}\) für die ersten beiden Zellschalen um die Kugel untersuchen. In [[:File:BA-ES-Polare-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|Abb.4]] lässt sich dann erkennen, dass die analytischen Lösungen und numerischen Lösungen für die jeweiligen Zellschalen, qualitativ ähnlich verlaufen. Jedoch weichen die Peaks der numerischen Lösungen für beide Zellschalen um ungefähr \(20\;\%\) voneinander ab.

	[[File:BA-ES-Oberflächenintegral-verschiedene-Grids.png\|500px\|thumb\|Abb.2: Numerisch berechnetes Oberflächenintegral aufgetragen über die jeweilige Auflösung des Grids]]		[[File:BA-ES-Oberflächenintegral-verschiedene-Grids.png\|500px\|thumb\|Abb.2: Numerisch berechnetes Oberflächenintegral aufgetragen über die jeweilige Auflösung des Grids]]

			Analog lässt sich die polare Geschwindigkeit \(u_{\theta}\) für die ersten beiden Zellschalen um die Kugel untersuchen. In [[:File:BA-ES-Polare-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|Abb.4]] lässt sich dann erkennen, dass die analytischen Lösungen und numerischen Lösungen für die jeweiligen Zellschalen, qualitativ ähnlich verlaufen. Jedoch weichen die Peaks der numerischen Lösungen für beide Zellschalen um ungefähr \(20\;\%\) voneinander ab.

	[[File:BA-ES-Druckverlauf-ersten-beiden-Zellschalen.png\|500px\|thumb\|Abb.3: Druckverlauf der ersten beiden Zellschalen, für eine Reynoldszahl von \(Re=\frac{1}{100}\) und einer Auflösung vom Faktor \(8\), aufgetragen über den Winkel \(\theta\)]]		[[File:BA-ES-Druckverlauf-ersten-beiden-Zellschalen.png\|500px\|thumb\|Abb.3: Druckverlauf der ersten beiden Zellschalen, für eine Reynoldszahl von \(Re=\frac{1}{100}\) und einer Auflösung vom Faktor \(8\), aufgetragen über den Winkel \(\theta\)]]

	[[File:BA-ES-Polare-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|500px\|thumb\|Abb.4: Polare Geschwindigkeit \(u_{\theta}\) der ersten beiden Zellschalen, für eine Reynoldszahl von \(Re=\frac{1}{100}\) und einer Auflösung vom Faktor \(8\), aufgetragen über den Winkel \(\theta\)]]		[[File:BA-ES-Polare-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|500px\|thumb\|Abb.4: Polare Geschwindigkeit \(u_{\theta}\) der ersten beiden Zellschalen, für eine Reynoldszahl von \(Re=\frac{1}{100}\) und einer Auflösung vom Faktor \(8\), aufgetragen über den Winkel \(\theta\)]]

Emilio.S: /* Fehler in der numerischen Kraftberechnung */ polare Geschwindigkeit ersten beiden Zellschalen

2024-05-16T12:02:00Z

Fehler in der numerischen Kraftberechnung: polare Geschwindigkeit ersten beiden Zellschalen

← Older revision		Revision as of 14:02, 16 May 2024
Line 122:		Line 122:
	Dieser Fehler könnte jedoch viele Ursachen haben. Eine davon könnte die numerisch durchgeführte Integration sein, welche einer einfachen Summation entspricht. Um dies zu überprüfen, wird zunächst das Oberflächenintegral über die Kugel bestimmt. Dabei wird analytisch für eine Kugel mit Radius \(R=1\) eine Kugeloberfläche von \(A=4\pi\) erwartet. In [[:File:BA-ES-Oberfl%C3%A4chenintegral-verschiedene-Grids.png\|Abb.2]] sind die numerisch berechneten Oberflächenintegrale für die jeweiligen Grids aufgetragen und es lässt sich erkennen, dass der analytische Wert für eine Auflösung vom Faktor 8 schon sehr gut genähert wird. Daher lässt sich vermuten, dass die numerische Integration nicht der Grund für den Fehler in der Kraftberechnung ist.		Dieser Fehler könnte jedoch viele Ursachen haben. Eine davon könnte die numerisch durchgeführte Integration sein, welche einer einfachen Summation entspricht. Um dies zu überprüfen, wird zunächst das Oberflächenintegral über die Kugel bestimmt. Dabei wird analytisch für eine Kugel mit Radius \(R=1\) eine Kugeloberfläche von \(A=4\pi\) erwartet. In [[:File:BA-ES-Oberfl%C3%A4chenintegral-verschiedene-Grids.png\|Abb.2]] sind die numerisch berechneten Oberflächenintegrale für die jeweiligen Grids aufgetragen und es lässt sich erkennen, dass der analytische Wert für eine Auflösung vom Faktor 8 schon sehr gut genähert wird. Daher lässt sich vermuten, dass die numerische Integration nicht der Grund für den Fehler in der Kraftberechnung ist.

	Daher muss der Fehler entweder durch die Druckverteilung oder das Geschwindigkeitsfeld kommen. Um dies zu untersuchen wird zunächst die Druckverteilung für die ersten beiden Zellschalen um die Kugel untersucht. In In [[:File:BA-ES-Druckverlauf-ersten-beiden-Zellschalen.png\|Abb.3]] lässt sich erkennen, dass die analytischen Lösungen bzw. die numerischen Lösungen für die ersten beiden Zellschalen nahezu perfekt übereinander liegen. Auch weisen die numerischen Lösungen einen kosinusförmigen Verlauf auf, genau, wie analytisch erwartet. Jedoch ist die numerische Lösung für \(\theta<\frac{\pi}{2}\) stets größer bzw. für \(\theta>\frac{\pi}{2}\) stets kleiner als die analytische Lösung.		Daher muss der Fehler entweder durch die Druckverteilung oder das Geschwindigkeitsfeld kommen. Um dies zu untersuchen wird zunächst die Druckverteilung für die ersten beiden Zellschalen um die Kugel untersucht. In In [[:File:BA-ES-Druckverlauf-ersten-beiden-Zellschalen.png\|Abb.3]] lässt sich erkennen, dass die analytischen Lösungen bzw. die numerischen Lösungen für die ersten beiden Zellschalen nahezu perfekt übereinander liegen. Auch weisen die numerischen Lösungen einen kosinusförmigen Verlauf auf, genau, wie analytisch erwartet. Jedoch ist die numerische Lösung für \(\theta<\frac{\pi}{2}\) stets größer bzw. für \(\theta>\frac{\pi}{2}\) stets kleiner als die analytische Lösung. Die Peaks der numerischen Lösungen weichen hierbei um ungefähr \(20\;\%\) von der jeweiligen analytischen Lösung ab.

	Analog lässt sich die polare Geschwindigkeit \(u_{\theta}\) für die ersten beiden Zellschalen um die Kugel untersuchen. In [[:File:BA-ES-Polare-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|Abb.4]] lässt sich dann erkennen, dass die analytischen Lösungen für die ~~beiden~~ Zellschalen ~~perfekt übereinander liegen~~. Jedoch weichen die numerischen Lösungen ~~relativ stark voneinander ab. Der Peak der zweiten Zellschale weicht dabei~~ ungefähr um \(35\;\%\) ~~vom Peak der ersten Zellschale~~ ab.		Analog lässt sich die polare Geschwindigkeit \(u_{\theta}\) für die ersten beiden Zellschalen um die Kugel untersuchen. In [[:File:BA-ES-Polare-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|Abb.4]] lässt sich dann erkennen, dass die analytischen Lösungen und numerischen Lösungen für die jeweiligen Zellschalen, qualitativ ähnlich verlaufen. Jedoch weichen die Peaks der numerischen Lösungen für beide Zellschalen um ungefähr \(20\;\%\) voneinander ab.

	[[File:BA-ES-Oberflächenintegral-verschiedene-Grids.png\|500px\|thumb\|Abb.2: Numerisch berechnetes Oberflächenintegral aufgetragen über die jeweilige Auflösung des Grids]]		[[File:BA-ES-Oberflächenintegral-verschiedene-Grids.png\|500px\|thumb\|Abb.2: Numerisch berechnetes Oberflächenintegral aufgetragen über die jeweilige Auflösung des Grids]]

Emilio.S: /* Fehler in der numerischen Kraftberechnung */ polare Geschwindigkeit ersten beiden Zellschalen

2024-05-16T11:09:50Z

Fehler in der numerischen Kraftberechnung: polare Geschwindigkeit ersten beiden Zellschalen

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	[[File:BA-ES-Druckverlauf-ersten-beiden-Zellschalen.png\|500px\|thumb\|Abb.3: Druckverlauf der ersten beiden Zellschalen, für eine Reynoldszahl von \(Re=\frac{1}{100}\) und einer Auflösung vom Faktor \(8\), aufgetragen über den Winkel \(\theta\)]]		[[File:BA-ES-Druckverlauf-ersten-beiden-Zellschalen.png\|500px\|thumb\|Abb.3: Druckverlauf der ersten beiden Zellschalen, für eine Reynoldszahl von \(Re=\frac{1}{100}\) und einer Auflösung vom Faktor \(8\), aufgetragen über den Winkel \(\theta\)]]

	[[File:BA-ES-Polare-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen-2.png\|500px\|thumb\|Abb.4: Polare Geschwindigkeit \(u_{\theta}\) der ersten beiden Zellschalen, für eine Reynoldszahl von \(Re=\frac{1}{100}\) und einer Auflösung vom Faktor \(8\), aufgetragen über den Winkel \(\theta\)]]		[[File:BA-ES-Polare-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|500px\|thumb\|Abb.4: Polare Geschwindigkeit \(u_{\theta}\) der ersten beiden Zellschalen, für eine Reynoldszahl von \(Re=\frac{1}{100}\) und einer Auflösung vom Faktor \(8\), aufgetragen über den Winkel \(\theta\)]]

Emilio.S: /* Fehler in der numerischen Kraftberechnung */ polare Geschwindigkeit ersten beiden Zellschalen

2024-05-16T11:04:38Z

Fehler in der numerischen Kraftberechnung: polare Geschwindigkeit ersten beiden Zellschalen

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	[[File:BA-ES-Polare-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|500px\|thumb\|Abb.4: Polare Geschwindigkeit \(u_{\theta}\) der ersten beiden Zellschalen, für eine Reynoldszahl von \(Re=\frac{1}{100}\) und einer Auflösung vom Faktor \(8\), aufgetragen über den Winkel \(\theta\)]]		[[File:BA-ES-Polare-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen-2.png\|500px\|thumb\|Abb.4: Polare Geschwindigkeit \(u_{\theta}\) der ersten beiden Zellschalen, für eine Reynoldszahl von \(Re=\frac{1}{100}\) und einer Auflösung vom Faktor \(8\), aufgetragen über den Winkel \(\theta\)]]

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	= Fehler in der numerischen Kraftberechnung =		= Fehler in der numerischen Kraftberechnung =

	[[File:BA-ES-Fehler-Kraft-Relative-Kraftabweichung-verschiedene-Grids.png~~\|500px\|thumb~~\|Abb.1~~: Relative Kraftabweichung von der theoretisch erwarteten Kraft aufgetragen über das Verhältnis der Auflösung bzgl. des Ausgangsgrids~~]]		Es stellt sich heraus, dass die relative Kraftabweichung, selbst für vergleichsweise hohe Auflösungen, trotz der Auflösung im Bereich von ungefähr \(20\;\%\) liegt. Dies lässt sich auch anhand [[:File:BA-ES-Fehler-Kraft-Relative-Kraftabweichung-verschiedene-Grids.png\|Abb.1]] erkennen.

	~~Es stellt sich heraus, dass die relative~~ Kraftabweichung~~, selbst für vergleichsweise hohe Auflösungen, im Bereich~~ von ~~ungefähr \(20\;\%\) liegt~~.		[[File:BA-ES-Fehler-Kraft-Relative-Kraftabweichung-verschiedene-Grids.png\|thumb\|center\|500px\|Abb.1: Relative Kraftabweichung von der theoretisch erwarteten Kraft aufgetragen über das Verhältnis der Auflösung bzgl. des Ausgangsgrids]]

	~~Es stellt sich heraus~~, ~~dass~~ die ~~relative Kraftabweichung, selbst~~ für ~~vergleichsweise hohe Auflösungen, trotz der Auflösung im Bereich~~ von ~~ungefähr~~ \(20\~~;\%~~\) ~~liegt~~. ~~Dies lässt sich auch anhand~~ [[:File:BA-ES-~~Fehler-Kraft-Relative-Kraftabweichung~~-verschiedene-Grids.png\|Abb.1]] erkennen.		Dieser Fehler könnte jedoch viele Ursachen haben. Eine davon könnte die numerisch durchgeführte Integration sein, welche einer einfachen Summation entspricht. Um dies zu überprüfen, wird zunächst das Oberflächenintegral über die Kugel bestimmt. Dabei wird analytisch für eine Kugel mit Radius \(R=1\) eine Kugeloberfläche von \(A=4\pi\) erwartet. In [[:File:BA-ES-Oberfl%C3%A4chenintegral-verschiedene-Grids.png\|Abb.2]] sind die numerisch berechneten Oberflächenintegrale für die jeweiligen Grids aufgetragen und es lässt sich erkennen, dass der analytische Wert für eine Auflösung vom Faktor 8 schon sehr gut genähert wird. Daher lässt sich vermuten, dass die numerische Integration nicht der Grund für den Fehler in der Kraftberechnung ist.

	Dieser Fehler könnte jedoch viele Ursachen haben. Eine davon könnte die numerisch durchgeführte Integration sein, welche einer einfachen Summation entspricht. Um dies zu überprüfen, wird zunächst das Oberflächenintegral über die Kugel bestimmt. Dabei wird analytisch für eine Kugel mit Radius \(R=1\) eine Kugeloberfläche von \(A=4\pi\) erwartet. In [[:File:BA-ES-~~Oberfl%C3%A4chenintegral~~-verschiedene-Grids.png\|Abb.2]] sind die numerisch berechneten Oberflächenintegrale für die jeweiligen Grids aufgetragen und es lässt sich erkennen, dass der analytische Wert für eine Auflösung vom Faktor 8 schon sehr gut genähert wird. Daher lässt sich vermuten, dass die numerische Integration nicht der Grund für den Fehler in der Kraftberechnung ist.		[[File:BA-ES-Oberflächenintegral-verschiedene-Grids.png\|500px\|thumb\|center\|Abb.2: Numerisch berechnetes Oberflächenintegral aufgetragen über die jeweilige Auflösung des Grids]]

	Daher muss der Fehler entweder durch die Druckverteilung oder das Geschwindigkeitsfeld kommen. Um dies zu untersuchen wird zunächst die Druckverteilung für die ersten beiden Zellschalen um die Kugel untersucht. In In [[:File:BA-ES-Druckverlauf-ersten-beiden-Zellschalen.png\|Abb.3]] lässt sich erkennen, dass die analytischen Lösungen bzw. die numerischen Lösungen für die ersten beiden Zellschalen nahezu perfekt übereinander liegen. Auch weisen die numerischen Lösungen einen kosinusförmigen Verlauf auf, genau, wie analytisch erwartet. Jedoch ist die numerische Lösung für \(\theta<\frac{\pi}{2}\) stets größer bzw. für \(\theta>\frac{\pi}{2}\) stets kleiner als die analytische Lösung. Die Peaks der numerischen Lösungen weichen hierbei um ungefähr \(20\;\%\) von der jeweiligen analytischen Lösung ab.		Daher muss der Fehler entweder durch die Druckverteilung oder das Geschwindigkeitsfeld kommen. Um dies zu untersuchen wird zunächst die Druckverteilung für die ersten beiden Zellschalen um die Kugel untersucht. In In [[:File:BA-ES-Druckverlauf-ersten-beiden-Zellschalen.png\|Abb.3]] lässt sich erkennen, dass die analytischen Lösungen bzw. die numerischen Lösungen für die ersten beiden Zellschalen nahezu perfekt übereinander liegen. Auch weisen die numerischen Lösungen einen kosinusförmigen Verlauf auf, genau, wie analytisch erwartet. Jedoch ist die numerische Lösung für \(\theta<\frac{\pi}{2}\) stets größer bzw. für \(\theta>\frac{\pi}{2}\) stets kleiner als die analytische Lösung. Die Peaks der numerischen Lösungen weichen hierbei um ungefähr \(20\;\%\) von der jeweiligen analytischen Lösung ab.

			[[File:BA-ES-Druckverlauf-ersten-beiden-Zellschalen.png\|500px\|thumb\|center\|Abb.3: Druckverlauf der ersten beiden Zellschalen, für eine Reynoldszahl von \(Re=\frac{1}{100}\) und einer Auflösung vom Faktor \(8\), aufgetragen über den Winkel \(\theta\)]]

	[[File:BA-ES-~~Oberflächenintegral~~-~~verschiedene~~-~~Grids~~.png~~\|500px\|thumb~~\|Abb.~~2: Numerisch berechnetes Oberflächenintegral aufgetragen über die jeweilige Auflösung des Grids~~]]		Analog lässt sich die polare Geschwindigkeit \(u_{\theta}\) für die ersten beiden Zellschalen um die Kugel untersuchen. In [[:File:BA-ES-Polare-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|Abb.4]] lässt sich dann erkennen, dass die analytischen Lösungen und numerischen Lösungen für die jeweiligen Zellschalen, qualitativ ähnlich verlaufen. Jedoch weichen die Peaks der numerischen Lösungen für beide Zellschalen um ungefähr \(20\;\%\) voneinander ab.

	~~Analog lässt sich die polare Geschwindigkeit \(u_{\theta}\) für die ersten beiden Zellschalen um die Kugel untersuchen. In~~ [[:File:BA-ES-Polare-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|Abb.4~~]] lässt sich dann erkennen, dass die analytischen Lösungen und numerischen Lösungen für die jeweiligen~~ Zellschalen, ~~qualitativ ähnlich verlaufen. Jedoch weichen die Peaks der numerischen Lösungen~~ für ~~beide Zellschalen um ungefähr~~ \(20\;\%\) ~~voneinander ab.~~		[[File:BA-ES-Polare-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|500px\|thumb\|center\|Abb.4: Polare Geschwindigkeit \(u_{\theta}\) der ersten beiden Zellschalen, für eine Reynoldszahl von \(Re=\frac{1}{100}\) und einer Auflösung vom Faktor \(8\), aufgetragen über den Winkel \(\theta\)
			]]

	In [[:File:BA-ES-Radiale-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|Abb.5]] ist selbige Untersuchung, wie in [[:File:BA-ES-Polare-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|Abb.4]], für die radiale Geschwindigkeitskomponente \(u_r\) angestellt worden. Hier fällt auf, dass die jeweiligen numerischen und analytischen Kurven, erneut qualitativ ähnlich verlaufen, außer für die Winkel \(\theta=0\) und \(\theta=\pi\). Außerdem fällt auf, dass die Abweichung der Peaks deutlich größer ist, als in [[:File:BA-ES-Druckverlauf-ersten-beiden-Zellschalen.png\|Abb.3]] und [[:File:BA-ES-Polare-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|Abb.4]]. Für die erste Zellschale weicht die numerische Lösung ungefähr um einen Faktor \(2\) und für die zweite Zellschale um einen Faktor \(1,5\) ab.		In [[:File:BA-ES-Radiale-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|Abb.5]] ist selbige Untersuchung, wie in [[:File:BA-ES-Polare-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|Abb.4]], für die radiale Geschwindigkeitskomponente \(u_r\) angestellt worden. Hier fällt auf, dass die jeweiligen numerischen und analytischen Kurven, erneut qualitativ ähnlich verlaufen, außer für die Winkel \(\theta=0\) und \(\theta=\pi\). Außerdem fällt auf, dass die Abweichung der Peaks deutlich größer ist, als in [[:File:BA-ES-Druckverlauf-ersten-beiden-Zellschalen.png\|Abb.3]] und [[:File:BA-ES-Polare-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|Abb.4]]. Für die erste Zellschale weicht die numerische Lösung ungefähr um einen Faktor \(2\) und für die zweite Zellschale um einen Faktor \(1,5\) ab.

	[[File:BA-ES-Druckverlauf-ersten-beiden-Zellschalen.png\|500px\|thumb\|Abb.3: Druckverlauf der ersten beiden Zellschalen, für eine Reynoldszahl von \(Re=\frac{1}{100}\) und einer Auflösung vom Faktor \(8\), aufgetragen über den Winkel \(\theta\)]]		[[File:BA-ES-Radiale-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|500px\|thumb\|center\|Abb.5: Radiale Geschwindigkeit \(u_{r}\) der ersten beiden Zellschalen, für eine Reynoldszahl von \(Re=\frac{1}{100}\) und einer Auflösung vom Faktor \(8\), aufgetragen über den Winkel \(\theta\)]]

	~~[[File:BA-ES-Polare~~-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|500px\|thumb\|Abb.4: Polare Geschwindigkeit \(u_{\theta}\) der ersten beiden Zellschalen, für eine Reynoldszahl von \(Re=\frac{1}{100}\) und einer Auflösung vom Faktor \(8\), aufgetragen über den Winkel \(\theta\)
	]]

	~~[[File:BA-ES-Radiale-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|500px\|thumb~~\|Abb.5: Radiale Geschwindigkeit \(u_{r}\) der ersten beiden Zellschalen, für eine Reynoldszahl von \(Re=\frac{1}{100}\) und einer Auflösung vom Faktor \(8\), aufgetragen über den Winkel \(\theta\)]]

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	Analog lässt sich die polare Geschwindigkeit \(u_{\theta}\) für die ersten beiden Zellschalen um die Kugel untersuchen. In [[:File:BA-ES-Polare-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|Abb.4]] lässt sich dann erkennen, dass die analytischen Lösungen und numerischen Lösungen für die jeweiligen Zellschalen, qualitativ ähnlich verlaufen. Jedoch weichen die Peaks der numerischen Lösungen für beide Zellschalen um ungefähr \(20\;\%\) voneinander ab.		Analog lässt sich die polare Geschwindigkeit \(u_{\theta}\) für die ersten beiden Zellschalen um die Kugel untersuchen. In [[:File:BA-ES-Polare-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|Abb.4]] lässt sich dann erkennen, dass die analytischen Lösungen und numerischen Lösungen für die jeweiligen Zellschalen, qualitativ ähnlich verlaufen. Jedoch weichen die Peaks der numerischen Lösungen für beide Zellschalen um ungefähr \(20\;\%\) voneinander ab.

	In [[:File:BA-ES-Radiale-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|Abb.5]] ist selbige Untersuchung, wie in [[:File:BA-ES-Polare-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|Abb.4]], für die radiale Geschwindigkeitskomponente \(u_r\) angestellt worden. Hier fällt auf, dass die jeweiligen numerischen und analytischen Kurven, erneut qualitativ ähnlich verlaufen, außer für die Winkel \(\theta=0\) und \(theta=\pi\). Außerdem fällt auf, dass die Abweichung der Peaks deutlich größer ist, als in [[:File:BA-ES-Druckverlauf-ersten-beiden-Zellschalen.png\|Abb.3]] und [[:File:BA-ES-Polare-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|Abb.4]]. Für die erste Zellschale weicht die numerische Lösung ungefähr um einen Faktor \(2\) und für die zweite Zellschale um einen Faktor \(1,5\) ab.		In [[:File:BA-ES-Radiale-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|Abb.5]] ist selbige Untersuchung, wie in [[:File:BA-ES-Polare-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|Abb.4]], für die radiale Geschwindigkeitskomponente \(u_r\) angestellt worden. Hier fällt auf, dass die jeweiligen numerischen und analytischen Kurven, erneut qualitativ ähnlich verlaufen, außer für die Winkel \(\theta=0\) und \(\theta=\pi\). Außerdem fällt auf, dass die Abweichung der Peaks deutlich größer ist, als in [[:File:BA-ES-Druckverlauf-ersten-beiden-Zellschalen.png\|Abb.3]] und [[:File:BA-ES-Polare-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|Abb.4]]. Für die erste Zellschale weicht die numerische Lösung ungefähr um einen Faktor \(2\) und für die zweite Zellschale um einen Faktor \(1,5\) ab.

	[[File:BA-ES-Druckverlauf-ersten-beiden-Zellschalen.png\|500px\|thumb\|Abb.3: Druckverlauf der ersten beiden Zellschalen, für eine Reynoldszahl von \(Re=\frac{1}{100}\) und einer Auflösung vom Faktor \(8\), aufgetragen über den Winkel \(\theta\)]]		[[File:BA-ES-Druckverlauf-ersten-beiden-Zellschalen.png\|500px\|thumb\|Abb.3: Druckverlauf der ersten beiden Zellschalen, für eine Reynoldszahl von \(Re=\frac{1}{100}\) und einer Auflösung vom Faktor \(8\), aufgetragen über den Winkel \(\theta\)]]

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	Analog lässt sich die polare Geschwindigkeit \(u_{\theta}\) für die ersten beiden Zellschalen um die Kugel untersuchen. In [[:File:BA-ES-Polare-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|Abb.4]] lässt sich dann erkennen, dass die analytischen Lösungen und numerischen Lösungen für die jeweiligen Zellschalen, qualitativ ähnlich verlaufen. Jedoch weichen die Peaks der numerischen Lösungen für beide Zellschalen um ungefähr \(20\;\%\) voneinander ab.		Analog lässt sich die polare Geschwindigkeit \(u_{\theta}\) für die ersten beiden Zellschalen um die Kugel untersuchen. In [[:File:BA-ES-Polare-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|Abb.4]] lässt sich dann erkennen, dass die analytischen Lösungen und numerischen Lösungen für die jeweiligen Zellschalen, qualitativ ähnlich verlaufen. Jedoch weichen die Peaks der numerischen Lösungen für beide Zellschalen um ungefähr \(20\;\%\) voneinander ab.

			In [[:File:BA-ES-Radiale-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|Abb.5]] ist selbige Untersuchung, wie in [[:File:BA-ES-Polare-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|Abb.4]], für die radiale Geschwindigkeitskomponente \(u_r\) angestellt worden. Hier fällt auf, dass die jeweiligen numerischen und analytischen Kurven, erneut qualitativ ähnlich verlaufen, außer für die Winkel \(\theta=0\) und \(theta=\pi\). Außerdem fällt auf, dass die Abweichung der Peaks deutlich größer ist, als in [[:File:BA-ES-Druckverlauf-ersten-beiden-Zellschalen.png\|Abb.3]] und [[:File:BA-ES-Polare-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|Abb.4]]. Für die erste Zellschale weicht die numerische Lösung ungefähr um einen Faktor \(2\) und für die zweite Zellschale um einen Faktor \(1,5\) ab.

	[[File:BA-ES-Druckverlauf-ersten-beiden-Zellschalen.png\|500px\|thumb\|Abb.3: Druckverlauf der ersten beiden Zellschalen, für eine Reynoldszahl von \(Re=\frac{1}{100}\) und einer Auflösung vom Faktor \(8\), aufgetragen über den Winkel \(\theta\)]]		[[File:BA-ES-Druckverlauf-ersten-beiden-Zellschalen.png\|500px\|thumb\|Abb.3: Druckverlauf der ersten beiden Zellschalen, für eine Reynoldszahl von \(Re=\frac{1}{100}\) und einer Auflösung vom Faktor \(8\), aufgetragen über den Winkel \(\theta\)]]

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	Daher muss der Fehler entweder durch die Druckverteilung oder das Geschwindigkeitsfeld kommen. Um dies zu untersuchen wird zunächst die Druckverteilung für die ersten beiden Zellschalen um die Kugel untersucht. In In [[:File:BA-ES-Druckverlauf-ersten-beiden-Zellschalen.png\|Abb.3]] lässt sich erkennen, dass die analytischen Lösungen bzw. die numerischen Lösungen für die ersten beiden Zellschalen nahezu perfekt übereinander liegen. Auch weisen die numerischen Lösungen einen kosinusförmigen Verlauf auf, genau, wie analytisch erwartet. Jedoch ist die numerische Lösung für \(\theta<\frac{\pi}{2}\) stets größer bzw. für \(\theta>\frac{\pi}{2}\) stets kleiner als die analytische Lösung. Die Peaks der numerischen Lösungen weichen hierbei um ungefähr \(20\;\%\) von der jeweiligen analytischen Lösung ab.		Daher muss der Fehler entweder durch die Druckverteilung oder das Geschwindigkeitsfeld kommen. Um dies zu untersuchen wird zunächst die Druckverteilung für die ersten beiden Zellschalen um die Kugel untersucht. In In [[:File:BA-ES-Druckverlauf-ersten-beiden-Zellschalen.png\|Abb.3]] lässt sich erkennen, dass die analytischen Lösungen bzw. die numerischen Lösungen für die ersten beiden Zellschalen nahezu perfekt übereinander liegen. Auch weisen die numerischen Lösungen einen kosinusförmigen Verlauf auf, genau, wie analytisch erwartet. Jedoch ist die numerische Lösung für \(\theta<\frac{\pi}{2}\) stets größer bzw. für \(\theta>\frac{\pi}{2}\) stets kleiner als die analytische Lösung. Die Peaks der numerischen Lösungen weichen hierbei um ungefähr \(20\;\%\) von der jeweiligen analytischen Lösung ab.

	Analog lässt sich die polare Geschwindigkeit \(u_{\theta}\) für die ersten beiden Zellschalen um die Kugel untersuchen. In [[:File:BA-ES-Polare-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|Abb.4]] lässt sich dann erkennen, dass die analytischen Lösungen und numerischen Lösungen für die jeweiligen Zellschalen, qualitativ ähnlich verlaufen. Jedoch weichen die Peaks der numerischen Lösungen für beide Zellschalen um ungefähr \(20\;\%\) voneinander ab.

	[[File:BA-ES-Oberflächenintegral-verschiedene-Grids.png\|500px\|thumb\|Abb.2: Numerisch berechnetes Oberflächenintegral aufgetragen über die jeweilige Auflösung des Grids]]		[[File:BA-ES-Oberflächenintegral-verschiedene-Grids.png\|500px\|thumb\|Abb.2: Numerisch berechnetes Oberflächenintegral aufgetragen über die jeweilige Auflösung des Grids]]

			Analog lässt sich die polare Geschwindigkeit \(u_{\theta}\) für die ersten beiden Zellschalen um die Kugel untersuchen. In [[:File:BA-ES-Polare-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|Abb.4]] lässt sich dann erkennen, dass die analytischen Lösungen und numerischen Lösungen für die jeweiligen Zellschalen, qualitativ ähnlich verlaufen. Jedoch weichen die Peaks der numerischen Lösungen für beide Zellschalen um ungefähr \(20\;\%\) voneinander ab.

	[[File:BA-ES-Druckverlauf-ersten-beiden-Zellschalen.png\|500px\|thumb\|Abb.3: Druckverlauf der ersten beiden Zellschalen, für eine Reynoldszahl von \(Re=\frac{1}{100}\) und einer Auflösung vom Faktor \(8\), aufgetragen über den Winkel \(\theta\)]]		[[File:BA-ES-Druckverlauf-ersten-beiden-Zellschalen.png\|500px\|thumb\|Abb.3: Druckverlauf der ersten beiden Zellschalen, für eine Reynoldszahl von \(Re=\frac{1}{100}\) und einer Auflösung vom Faktor \(8\), aufgetragen über den Winkel \(\theta\)]]

	[[File:BA-ES-Polare-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|500px\|thumb\|Abb.4: Polare Geschwindigkeit \(u_{\theta}\) der ersten beiden Zellschalen, für eine Reynoldszahl von \(Re=\frac{1}{100}\) und einer Auflösung vom Faktor \(8\), aufgetragen über den Winkel \(\theta\)]]		[[File:BA-ES-Polare-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|500px\|thumb\|Abb.4: Polare Geschwindigkeit \(u_{\theta}\) der ersten beiden Zellschalen, für eine Reynoldszahl von \(Re=\frac{1}{100}\) und einer Auflösung vom Faktor \(8\), aufgetragen über den Winkel \(\theta\)]]

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	Dieser Fehler könnte jedoch viele Ursachen haben. Eine davon könnte die numerisch durchgeführte Integration sein, welche einer einfachen Summation entspricht. Um dies zu überprüfen, wird zunächst das Oberflächenintegral über die Kugel bestimmt. Dabei wird analytisch für eine Kugel mit Radius \(R=1\) eine Kugeloberfläche von \(A=4\pi\) erwartet. In [[:File:BA-ES-Oberfl%C3%A4chenintegral-verschiedene-Grids.png\|Abb.2]] sind die numerisch berechneten Oberflächenintegrale für die jeweiligen Grids aufgetragen und es lässt sich erkennen, dass der analytische Wert für eine Auflösung vom Faktor 8 schon sehr gut genähert wird. Daher lässt sich vermuten, dass die numerische Integration nicht der Grund für den Fehler in der Kraftberechnung ist.		Dieser Fehler könnte jedoch viele Ursachen haben. Eine davon könnte die numerisch durchgeführte Integration sein, welche einer einfachen Summation entspricht. Um dies zu überprüfen, wird zunächst das Oberflächenintegral über die Kugel bestimmt. Dabei wird analytisch für eine Kugel mit Radius \(R=1\) eine Kugeloberfläche von \(A=4\pi\) erwartet. In [[:File:BA-ES-Oberfl%C3%A4chenintegral-verschiedene-Grids.png\|Abb.2]] sind die numerisch berechneten Oberflächenintegrale für die jeweiligen Grids aufgetragen und es lässt sich erkennen, dass der analytische Wert für eine Auflösung vom Faktor 8 schon sehr gut genähert wird. Daher lässt sich vermuten, dass die numerische Integration nicht der Grund für den Fehler in der Kraftberechnung ist.

	Daher muss der Fehler entweder durch die Druckverteilung oder das Geschwindigkeitsfeld kommen. Um dies zu untersuchen wird zunächst die Druckverteilung für die ersten beiden Zellschalen um die Kugel untersucht. In In [[:File:BA-ES-Druckverlauf-ersten-beiden-Zellschalen.png\|Abb.3]] lässt sich erkennen, dass die analytischen Lösungen bzw. die numerischen Lösungen für die ersten beiden Zellschalen nahezu perfekt übereinander liegen. Auch weisen die numerischen Lösungen einen kosinusförmigen Verlauf auf, genau, wie analytisch erwartet. Jedoch ist die numerische Lösung für \(\theta<\frac{\pi}{2}\) stets größer bzw. für \(\theta>\frac{\pi}{2}\) stets kleiner als die analytische Lösung.		Daher muss der Fehler entweder durch die Druckverteilung oder das Geschwindigkeitsfeld kommen. Um dies zu untersuchen wird zunächst die Druckverteilung für die ersten beiden Zellschalen um die Kugel untersucht. In In [[:File:BA-ES-Druckverlauf-ersten-beiden-Zellschalen.png\|Abb.3]] lässt sich erkennen, dass die analytischen Lösungen bzw. die numerischen Lösungen für die ersten beiden Zellschalen nahezu perfekt übereinander liegen. Auch weisen die numerischen Lösungen einen kosinusförmigen Verlauf auf, genau, wie analytisch erwartet. Jedoch ist die numerische Lösung für \(\theta<\frac{\pi}{2}\) stets größer bzw. für \(\theta>\frac{\pi}{2}\) stets kleiner als die analytische Lösung. Die Peaks der numerischen Lösungen weichen hierbei um ungefähr \(20\;\%\) von der jeweiligen analytischen Lösung ab.

	Analog lässt sich die polare Geschwindigkeit \(u_{\theta}\) für die ersten beiden Zellschalen um die Kugel untersuchen. In [[:File:BA-ES-Polare-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|Abb.4]] lässt sich dann erkennen, dass die analytischen Lösungen für die ~~beiden~~ Zellschalen ~~perfekt übereinander liegen~~. Jedoch weichen die numerischen Lösungen ~~relativ stark voneinander ab. Der Peak der zweiten Zellschale weicht dabei~~ ungefähr um \(35\;\%\) ~~vom Peak der ersten Zellschale~~ ab.		Analog lässt sich die polare Geschwindigkeit \(u_{\theta}\) für die ersten beiden Zellschalen um die Kugel untersuchen. In [[:File:BA-ES-Polare-Geschwindigkeit-erste-beiden-Zellschalen.png\|Abb.4]] lässt sich dann erkennen, dass die analytischen Lösungen und numerischen Lösungen für die jeweiligen Zellschalen, qualitativ ähnlich verlaufen. Jedoch weichen die Peaks der numerischen Lösungen für beide Zellschalen um ungefähr \(20\;\%\) voneinander ab.

	[[File:BA-ES-Oberflächenintegral-verschiedene-Grids.png\|500px\|thumb\|Abb.2: Numerisch berechnetes Oberflächenintegral aufgetragen über die jeweilige Auflösung des Grids]]		[[File:BA-ES-Oberflächenintegral-verschiedene-Grids.png\|500px\|thumb\|Abb.2: Numerisch berechnetes Oberflächenintegral aufgetragen über die jeweilige Auflösung des Grids]]