BA Pia Lüdecke - Revision history

Pia.L: /* Natürliche Einheiten */

2025-06-06T11:04:43Z

Natürliche Einheiten

← Older revision		Revision as of 13:04, 6 June 2025
Line 96:		Line 96:


	\[ v^* = \frac{v}{c_S}\]		\[ v^* = \frac{v}{c_S}= Ma\]

	Die Bezugsfläche ist in natürlichen Einheiten gegeben als:		Die Bezugsfläche ist in natürlichen Einheiten gegeben als:

Pia.L: /* Erste Tests */

2025-06-06T09:34:41Z

Erste Tests

← Older revision		Revision as of 11:34, 6 June 2025
Line 9:		Line 9:
	* Es ließ sich für \(Re=200\) kein stationärer Zustand finden, da unerwartete Turbulenzen auftraten. Im Folgenden wird die höchste Reynolds-Zahl auf \(Re=100\) reduziert.		* Es ließ sich für \(Re=200\) kein stationärer Zustand finden, da unerwartete Turbulenzen auftraten. Im Folgenden wird die höchste Reynolds-Zahl auf \(Re=100\) reduziert.

	* Mit \(Re=100\) stellt sich sehr schnell ein stationärer Zustand ein ( \(t_{end} \approx 500\) ). Dieser ist jedoch zunächst noch sehr abhängig von der gewählten Auflösung. Es werden nun unterschiedliche Auflösungen durchgetestet, um eine finale Konvergenz zu verifizieren.		* Mit \(Re=100\) stellt sich sehr schnell ein stationärer Zustand ein ( \(t_{end} \approx 500\) ). Dieser ist jedoch zunächst noch sehr abhängig von der gewählten Auflösung. Es werden nun unterschiedliche Auflösungen durchgetestet, um eine finale Konvergenz zu verifizieren. Update: Ab Auflösungen von n=9 zeigte sich, dass der stationäre Zustand bei \(t_{end} = 10^5\) doch noch nicht erreicht ist.
	Update: Ab Auflösungen von n=9 zeigte sich, dass der stationäre Zustand bei \(t_{end} = 10^5\) doch noch nicht erreicht ist.

	= Grundlagen =		= Grundlagen =

Pia.L: /* Erste Tests */

2025-06-06T09:34:11Z

Erste Tests

← Older revision		Revision as of 11:34, 6 June 2025
Line 10:		Line 10:

	* Mit \(Re=100\) stellt sich sehr schnell ein stationärer Zustand ein ( \(t_{end} \approx 500\) ). Dieser ist jedoch zunächst noch sehr abhängig von der gewählten Auflösung. Es werden nun unterschiedliche Auflösungen durchgetestet, um eine finale Konvergenz zu verifizieren.		* Mit \(Re=100\) stellt sich sehr schnell ein stationärer Zustand ein ( \(t_{end} \approx 500\) ). Dieser ist jedoch zunächst noch sehr abhängig von der gewählten Auflösung. Es werden nun unterschiedliche Auflösungen durchgetestet, um eine finale Konvergenz zu verifizieren.
			Update: Ab Auflösungen von n=9 zeigte sich, dass der stationäre Zustand bei \(t_{end} = 10^5\) doch noch nicht erreicht ist.

	= Grundlagen =		= Grundlagen =

Pia.L: /* Natürliche Einheiten */

2025-06-05T12:38:00Z

Natürliche Einheiten

← Older revision		Revision as of 14:38, 5 June 2025
Line 91:		Line 91:


	\[ \rho_{\infty} R^3, R, \frac{~~\rho_{\infty}~~ R^2}{~~\mu~~} \]		\[ \rho_{\infty} R^3, R, \frac{R}{c_S} \]

	Sind also gegeben durch den Kugelradius, ~~die dynamische Viskosität und~~ die Dichte im Unendlichen. Im Falle einer symmetrischen Strömung (für Re=200 noch der Fall?) gilt für die Einströmgeschwindigkeit in natürlichen Einheiten:		Sind also gegeben durch den Kugelradius, die Dichte im Unendlichen und die Schallgeschwindigkeit. Im Falle einer symmetrischen Strömung (für Re=200 noch der Fall?) gilt für die Einströmgeschwindigkeit in natürlichen Einheiten:


	\[ v^* = \frac{v}{~~\mu/(\rho_{\infty} R)} = \frac{Re}{2~~} \]		\[ v^* = \frac{v}{c_S}\]

	Die Bezugsfläche ist in natürlichen Einheiten gegeben als:		Die Bezugsfläche ist in natürlichen Einheiten gegeben als:
Line 106:		Line 106:


	\[ F_D^* = \frac{F_D}{~~\mu~~^2 / \rho_{\infty}} \]		\[ F_D^* = \frac{F_D}{R^2\rho_{\infty} c_S^2} \]

	Eingesetzt in die Formel des Widerstandskoeffizienten folgt also:		Eingesetzt in die Formel des Widerstandskoeffizienten folgt also:

	\[ C_D = \frac{2 F_D^* \cdot (~~\mu~~^2 / \rho_{\infty})}{\~~rho_{\infty} (v~~^* \cdot (~~\mu/(\rho_{\infty} R)) )^2 A~~^* ~~\cdot R~~^2} \]		\[ C_D = \frac{2 \cdot F_D^* \cdot (R^2\rho_{\infty} c_S^2)}{\rho A^* R^2 \cdot (v^* c_S)^2} \]

	Vereinfachen und Kürzen des Ausdrucks liefert:		Vereinfachen und Kürzen des Ausdrucks liefert:

	\[ C_D = \frac{8 F_D^* }{ Re^2 \pi } \]		\[ C_D = \frac{2 F_D^* }{ v^{*2} \pi } \]

Pia.L: /* Erste Tests */

2025-06-05T11:19:50Z

Erste Tests

← Older revision		Revision as of 13:19, 5 June 2025
Line 6:		Line 6:

	* Der stationäre Zustand scheint ungefähr bei \(t_{end}=1e6\) erreicht zu werden. Update: Bei \(t=0,2 \cdot 1e7\) macht die kinetische Energie einen weiteren Sprung. Dieser ist nur in der fünften Nachkommastelle bemerkbar, jedoch zeigt sich mit visit, dass sich an diesem Punkt die Geschwindigkeiten vertauschen (Geschwindigkeit um Kugel fällt plötzlich auf fast null, während die Geschwindigkeit im Kegel der Strömungsauftelung steigt). Im Folgenden soll geklärt werden, ob das Problem durch eine zu geringe Auflösung verursacht wird.		* Der stationäre Zustand scheint ungefähr bei \(t_{end}=1e6\) erreicht zu werden. Update: Bei \(t=0,2 \cdot 1e7\) macht die kinetische Energie einen weiteren Sprung. Dieser ist nur in der fünften Nachkommastelle bemerkbar, jedoch zeigt sich mit visit, dass sich an diesem Punkt die Geschwindigkeiten vertauschen (Geschwindigkeit um Kugel fällt plötzlich auf fast null, während die Geschwindigkeit im Kegel der Strömungsauftelung steigt). Im Folgenden soll geklärt werden, ob das Problem durch eine zu geringe Auflösung verursacht wird.

			* Es ließ sich für \(Re=200\) kein stationärer Zustand finden, da unerwartete Turbulenzen auftraten. Im Folgenden wird die höchste Reynolds-Zahl auf \(Re=100\) reduziert.

			* Mit \(Re=100\) stellt sich sehr schnell ein stationärer Zustand ein ( \(t_{end} \approx 500\) ). Dieser ist jedoch zunächst noch sehr abhängig von der gewählten Auflösung. Es werden nun unterschiedliche Auflösungen durchgetestet, um eine finale Konvergenz zu verifizieren.

	= Grundlagen =		= Grundlagen =

Pia.L: /* Grundlagen */

2025-06-03T11:12:03Z

Grundlagen

← Older revision		Revision as of 13:12, 3 June 2025
Line 75:		Line 75:
	Damit ergibt sich das finale Ergebnis:		Damit ergibt sich das finale Ergebnis:

	\[\vec{F_z}=2\pi R^2\Big[(-\int_{0}^{\pi} p \~~cos{(\theta)} \sin{~~(~~\theta)} d\theta + \int_{0}^{\pi}~~ \zeta \partial_r u_r \big \vert _{r=R} ~~\cos{(\theta)} \sin(\theta) d\theta~~ + \frac{4}{3~~} \int_{0}^{\pi~~} \mu\ \partial_r u_r \big \vert _{r=R} \cos{(\theta)} \sin(\theta) d\theta - \int_{0}^{\pi} \mu \partial_r u_{\theta} \big \vert _{r=R} \sin(\theta)^2 d\theta \Big] \]		\[\vec{F_z}=2\pi R^2\Big[\int_{0}^{\pi} \big(\zeta \partial_r u_r \big \vert _{r=R} -p + \frac{4}{3} \mu\ \partial_r u_r \big \vert _{r=R} \big)\cos{(\theta)} \sin(\theta) d\theta - \int_{0}^{\pi} \mu \partial_r u_{\theta} \big \vert _{r=R} \sin(\theta)^2 d\theta \Big] \]


Line 92:		Line 92:


	\[ v* = \frac{v}{\mu/(\rho_{\infty} R)} = \frac{Re}{2} \]		\[ v^* = \frac{v}{\mu/(\rho_{\infty} R)} = \frac{Re}{2} \]

	Die Bezugsfläche ist in natürlichen Einheiten gegeben als:		Die Bezugsfläche ist in natürlichen Einheiten gegeben als:


	\[ A* = \frac{A}{R^2} = \pi \]		\[ A^* = \frac{A}{R^2} = \pi \]

	Für die allgemeine Widerstandkraft in natürlichen Einheiten gilt:		Für die allgemeine Widerstandkraft in natürlichen Einheiten gilt:


	\[ F_D* = \frac{F_D}{\mu^2 / \rho_{\infty}} \]		\[ F_D^* = \frac{F_D}{\mu^2 / \rho_{\infty}} \]

	Eingesetzt in die Formel des Widerstandskoeffizienten folgt also:		Eingesetzt in die Formel des Widerstandskoeffizienten folgt also:

	\[ C_D = \frac{2 F_D* \cdot (\mu^2 / \rho_{\infty})}{\rho_{\infty} (v* \cdot (\mu/(\rho_{\infty} R)) )^2 A* \cdot R^2} \]		\[ C_D = \frac{2 F_D^* \cdot (\mu^2 / \rho_{\infty})}{\rho_{\infty} (v^* \cdot (\mu/(\rho_{\infty} R)) )^2 A^* \cdot R^2} \]

	Vereinfachen und Kürzen des Ausdrucks liefert:		Vereinfachen und Kürzen des Ausdrucks liefert:

	\[ C_D = \frac{8 F_D* }{ Re^2 \pi } \]		\[ C_D = \frac{8 F_D^* }{ Re^2 \pi } \]

Pia.L: /* Natürliche Einheiten */

2025-06-03T09:25:25Z

Natürliche Einheiten

← Older revision		Revision as of 11:25, 3 June 2025
Line 110:		Line 110:
	Vereinfachen und Kürzen des Ausdrucks liefert:		Vereinfachen und Kürzen des Ausdrucks liefert:

	\[ C_D = \frac{2 F_D* }~~{ (\frac~~{Re~~}{2} )~~^2 \pi } \]		\[ C_D = \frac{8 F_D* }{ Re^2 \pi } \]

Pia.L: /* Natürliche Einheiten */

2025-06-03T09:21:32Z

Natürliche Einheiten

← Older revision		Revision as of 11:21, 3 June 2025
Line 106:		Line 106:
	Eingesetzt in die Formel des Widerstandskoeffizienten folgt also:		Eingesetzt in die Formel des Widerstandskoeffizienten folgt also:

	\[ C_D = \frac{2 F_D* \cdot (\mu^2 / \rho_{\infty})}{\~~rho~~ (v* \cdot (\mu/(\rho_{\infty} R)) )^2 A* \cdot R^2} \]		\[ C_D = \frac{2 F_D* \cdot (\mu^2 / \rho_{\infty})}{\rho_{\infty} (v* \cdot (\mu/(\rho_{\infty} R)) )^2 A* \cdot R^2} \]

			Vereinfachen und Kürzen des Ausdrucks liefert:

			\[ C_D = \frac{2 F_D* }{ (\frac{Re}{2} )^2 \pi } \]

Pia.L: /* Natürliche Einheiten */

2025-06-03T09:13:02Z

Natürliche Einheiten

← Older revision		Revision as of 11:13, 3 June 2025
Line 92:		Line 92:


	\[ \frac{v}{\mu/(\rho_{\infty} R)} = \frac{Re}{2} \]		\[ v* = \frac{v}{\mu/(\rho_{\infty} R)} = \frac{Re}{2} \]

	Die Bezugsfläche ist in natürlichen Einheiten gegeben als:		Die Bezugsfläche ist in natürlichen Einheiten gegeben als:


	\[ \frac{A}{~~R12~~} = \pi} \]		\[ A* = \frac{A}{R^2} = \pi \]

			Für die allgemeine Widerstandkraft in natürlichen Einheiten gilt:


			\[ F_D* = \frac{F_D}{\mu^2 / \rho_{\infty}} \]

			Eingesetzt in die Formel des Widerstandskoeffizienten folgt also:

			\[ C_D = \frac{2 F_D* \cdot (\mu^2 / \rho_{\infty})}{\rho (v* \cdot (\mu/(\rho_{\infty} R)) )^2 A* \cdot R^2} \]

Pia.L: /* Natürliche Einheiten */

2025-06-03T08:49:56Z

Natürliche Einheiten

← Older revision		Revision as of 10:49, 3 June 2025
Line 89:		Line 89:
	\[ \rho_{\infty} R^3, R, \frac{\rho_{\infty} R^2}{\mu} \]		\[ \rho_{\infty} R^3, R, \frac{\rho_{\infty} R^2}{\mu} \]

	Sind also gegeben durch den Kugelradius, die dynamische Viskosität und die Dichte im Unendlichen.		Sind also gegeben durch den Kugelradius, die dynamische Viskosität und die Dichte im Unendlichen. Im Falle einer symmetrischen Strömung (für Re=200 noch der Fall?) gilt für die Einströmgeschwindigkeit in natürlichen Einheiten:


			\[ \frac{v}{\mu/(\rho_{\infty} R)} = \frac{Re}{2} \]

			Die Bezugsfläche ist in natürlichen Einheiten gegeben als:


			\[ \frac{A}{R12} = \pi} \]