BA Marvin Henke - Revision history

Marvin.H: /* Herleitung inkompressible,inviskose, wirbelfreie Strömung um einen Zylinder */

2024-07-16T14:05:04Z

Herleitung inkompressible,inviskose, wirbelfreie Strömung um einen Zylinder

← Older revision		Revision as of 16:05, 16 July 2024
Line 8:		Line 8:
	\vec{\nabla}\times\vec{v}=0 \ \Rightarrow\ \exists \phi : \vec{v} = \vec{\nabla} \phi		\vec{\nabla}\times\vec{v}=0 \ \Rightarrow\ \exists \phi : \vec{v} = \vec{\nabla} \phi
	\end{align}		\end{align}
			Daher folgt aus der Annahme \(\frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}t}=0\) mit der Kontinuitätsgleichung, dass \(\vec{\nabla}\cdot\vec{u}=0\) gelten muss, also die Divergenzfreiheit des Geschwindigkeitsfelds.

	Für das Potential \(\phi\) folgt Aufgrund von \(\vec{\nabla}\cdot\vec{v}=0\), dass \(\Delta\phi = 0\) gilt (Laplace-Gleichung).		Für das Potential \(\phi\) folgt Aufgrund von \(\vec{\nabla}\cdot\vec{v}=0\), dass \(\Delta\phi = 0\) gilt (Laplace-Gleichung).

Marvin.H: /* Herleitung inkompressible,inviskose, wirbelfreie Strömung um einen Zylinder */

2024-07-16T13:59:30Z

Herleitung inkompressible,inviskose, wirbelfreie Strömung um einen Zylinder

← Older revision		Revision as of 15:59, 16 July 2024
Line 5:		Line 5:
	Aufgrund der Annahmen (inkompressibel, inviskos, wirbelfrei) gilt folgendes:		Aufgrund der Annahmen (inkompressibel, inviskos, wirbelfrei) gilt folgendes:
	\begin{align}		\begin{align}
	\frac{\mathrm{d} \rho}{\mathrm{d} t} = 0\ ,\ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \vec{\nabla}\cdot(\rho\vec{v}) = \frac{\mathrm{d} \rho}{\mathrm{d} t} + \rho (\vec{\nabla}\cdot\vec{v}) = 0 \ \Rightarrow\ \vec{\nabla}\cdot\vec{v}=0\\		\frac{\mathrm{d} \rho}{\mathrm{d} t} = 0\ ,\ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \vec{\nabla}\cdot(\rho\vec{v}) = \frac{\partial \rho}{\partial t} + \vec{u}\cdot\vec{\nabla}\rho + \rho(\vec{\nabla}\cdot\vec{v}) = \frac{\mathrm{d} \rho}{\mathrm{d} t} + \rho (\vec{\nabla}\cdot\vec{v}) = 0 \ \Rightarrow\ \vec{\nabla}\cdot\vec{v}=0\\
	\vec{\nabla}\times\vec{v}=0 \ \Rightarrow\ \exists \phi : \vec{v} = \vec{\nabla} \phi		\vec{\nabla}\times\vec{v}=0 \ \Rightarrow\ \exists \phi : \vec{v} = \vec{\nabla} \phi
	\end{align}		\end{align}

Marvin.H: /* Methodik zur Bestimmung des Übergangs von L1 in L2 */

2024-07-09T10:39:28Z

Methodik zur Bestimmung des Übergangs von L1 in L2

← Older revision		Revision as of 12:39, 9 July 2024
Line 134:		Line 134:
	Als Maß für die Symmetrie eines Skalarfelds \(s\) (z.B. \(\rho\)) wird folgende Definition verwendet:		Als Maß für die Symmetrie eines Skalarfelds \(s\) (z.B. \(\rho\)) wird folgende Definition verwendet:
	\begin{align}		\begin{align}
	\mathcal{S}(s) := 1-\left\langle\frac{\left\langle \left( s(r,\varphi^,t) - s(r,\pi-\varphi^,t) \right)^2 \right\rangle_{r,\varphi^*}}{\left\langle s^2(r,\varphi,t) \right\rangle_{r,\varphi}}\right\rangle_t = 1-\frac{1}{T} \sum_k \frac{\Delta t_k}{\sum_i \Delta V_i (s_i^k)^2}		\mathcal{S}[s(r,\varphi)] := 1 - \frac{\int d^2(r,\varphi^) \mathrm{d}r \mathrm{d}\varphi^}{\int s^2(r,\varphi) \mathrm{d}r \mathrm{d}\varphi}\\
	\sum_{-\frac{\pi}{2} < \varphi < \frac{\pi}{2}} \Delta V(\varphi) \left[s^k(\varphi) - s^k(\pi - \varphi) \right]^2		d(r,\varphi) := s(r,\varphi) - s(r,\pi-\varphi)
			%\mathcal{S}(s) := 1-\left\langle\frac{\left\langle \left( s(r,\varphi^,t) - s(r,\pi-\varphi^,t) \right)^2 \right\rangle_{r,\varphi^*}}{\left\langle s^2(r,\varphi,t) \right\rangle_{r,\varphi}}\right\rangle_t = 1-\frac{1}{T} \sum_k \frac{\Delta t_k}{\sum_i \Delta V_i (s_i^k)^2}
			%\sum_{-\frac{\pi}{2} < \varphi < \frac{\pi}{2}} \Delta V(\varphi) \left[s^k(\varphi) - s^k(\pi - \varphi) \right]^2
	\end{align}		\end{align}
	Hierbei gilt \(\varphi^* \in (-\pi/2, \pi/2)\) und \(\varphi \in (0,2\pi)\).		Hierbei gilt \(\varphi^* \in (-\pi/2, \pi/2)\) und \(\varphi \in (0,2\pi)\).

Marvin.H: /* Stabilitätsanalyse */

2024-07-04T21:07:09Z

Stabilitätsanalyse

← Older revision		Revision as of 23:07, 4 July 2024
Line 86:		Line 86:

	Da die Störungen nicht die Randbedingungen erfüllen, gibt es bessere Ansätze. Einer wären z.B. Besselfunktionen. Als analytische Lösung für den ersten Übergang könnte man die Lösung der Potentialströmung verwenden.		Da die Störungen nicht die Randbedingungen erfüllen, gibt es bessere Ansätze. Einer wären z.B. Besselfunktionen. Als analytische Lösung für den ersten Übergang könnte man die Lösung der Potentialströmung verwenden.

			In Zylinderkoordinaten lauten die linearisierten Gleichungen für eine beliebige Störung:
			\begin{align}
			\frac{1}{r} \left(\partial_r(r \delta v_r) + \partial_{\varphi}(\delta v_{\varphi})\right) &= 0\\
			\delta v_r \partial_r v_r + \frac{\delta v_{\varphi}}{r} \partial_{\varphi} v_r + v_r \partial_r \delta v_r + \frac{v_{\varphi}}{r}\partial_{\varphi} \delta v_r - 2 \frac{v_{\varphi} \delta v_{\varphi}}{r} + \partial_r \delta p - \frac{1}{b} \left(\frac{1}{r}\partial_r(r \partial_r \delta v_r) + \frac{1}{r^2}\partial_{\varphi}^2 \delta v_r - \frac{1}{r^2}\delta v_r - \frac{2}{r^2} \partial_{\varphi} \delta v_{\varphi} \right) &= \partial_t \delta v_r\\
			\delta v_r \partial_r v_{\varphi} + \frac{\delta v_{\varphi}}{r} \partial_{\varphi} v_{\varphi} + v_r \partial_r \delta v_{\varphi} + \frac{v_{\varphi}}{r}\partial_{\varphi} \delta v_{\varphi} + 2 \frac{v_{\varphi} \delta v_r}{r} + \frac{1}{r} \partial_{\varphi} \delta p - \frac{1}{b} \left(\frac{1}{r}\partial_r(r \partial_r \delta v_{\varphi}) + \frac{1}{r^2}\partial_{\varphi}^2 \delta v_{\varphi} - \frac{1}{r^2}\delta v_{\varphi} + \frac{2}{r^2} \partial_{\varphi} \delta v_r \right) &= \partial_t \delta v_{\varphi}
			\end{align}

	== Numerik und Simulationsparameter ==		== Numerik und Simulationsparameter ==

Marvin.H: /* Stabilitätsanalyse */

2024-07-04T15:53:35Z

Stabilitätsanalyse

@@ Line 83: / Line 83: @@
 \end{align}
-Bis hier hin sind keinerlei Randbedingungen eingeflossen. Da diese aber notwendig für eine eindeutige Lösung sind, müssen sie natürlich auch betrachtet werden. D.h. am Zylinderrand muss \(\vec{v}=\vec{0}\) gelten. In der Impulsgleichung stehen nun auch Ableitungen von \(\vec{v}\), um diese zu berücksichtigen, wird eine Taylorentwicklung zweiter Ordnung im Radius gemacht:
+Für \(a = b\) fällt der erste Term weg.
-Der einzige Term, der \(\omega\) enthält, zeigt in Richtung \(\delta\vec{v}\). Da \(\vec{k}\) senkrecht auf \(\delta\vec{v}\) steht, lässt sich die Impulsgleichung durch Multiplikation mit \(\delta\vec{v}\) umschreiben:
+Da die Störungen nicht die Randbedingungen erfüllen, gibt es bessere Ansätze. Einer wären z.B. Besselfunktionen. Als analytische Lösung für den ersten Übergang könnte man die Lösung der Potentialströmung verwenden.
 == Numerik und Simulationsparameter ==

Marvin.H: /* Stabilitätsanalyse */

2024-07-04T15:49:22Z

Stabilitätsanalyse

← Older revision		Revision as of 17:49, 4 July 2024
Line 103:		Line 103:
	\end{align}		\end{align}

			Für \(a = b\) fällt der erste Term weg.

	== Numerik und Simulationsparameter ==		== Numerik und Simulationsparameter ==

Marvin.H: Stabilitätsanalyse

2024-07-04T15:01:05Z

Stabilitätsanalyse

@@ Line 47: / Line 47: @@
 p=\frac{\rho}{2}v_0^2\left(2\frac{R^2}{r^2}\cos2\varphi-\frac{R^4}{r^4}\right)
 \end{align}
 == Numerik und Simulationsparameter ==

Marvin.H: /* Interpretation */

2024-06-20T14:49:34Z

Interpretation

← Older revision		Revision as of 16:49, 20 June 2024
Line 158:		Line 158:
	==== Interpretation ====		==== Interpretation ====
	===== Symmetrie \(\mathcal{S}\) =====		===== Symmetrie \(\mathcal{S}\) =====
	Die Symmetrie \(\mathcal{S}\) zeigt ~~in allen Fällen~~ einen stetigen Übergang von L1 in L2.		Die Symmetrie \(\mathcal{S}\) zeigt für \(\vec{v}\) einen stetigen Übergang von L1 in L2.
	Daher wurde zusätzlich die Rotation betrachtet.		Daher wurde zusätzlich die Rotation betrachtet. Hierbei ist dasselbe aufgefallen, weshalb die normierte Geschwindigkeit betrachtet wurde. Für die normierte Geschwindigkeiten \(v_x/v\) und \(v_y/v\) weißt die Symmetrie \(\mathcal{S}\) einen Knick bei \(\mathrm{Re}\approx 6\) auf.
	===== Rotation \(\mathcal{R}\) =====		===== Rotation \(\mathcal{R}\) =====
	Die reine Rotation ist beim Übergang von L1 nach L2 auch stetig, allerdings weißt die Rotation des normierten Vektorfelds eine klare Kante auf. Ab einem Bestimmten Punkt entstehen also Wirbel. Um herauszufinden, ob dieser Punkt von der Auflösung des Gitters abhängt, sollten mehrere Gitterauflösungen betrachtet werden. Es wäre durchaus möglich, dass der Sprung nur entsteht, weil die Wirbel erst ab einer Bestimmten Größe (ca. 2 Gitterzellen) vom Gitter aufgelöst werden können. ~~Dazu werden gerade Simulationen durchgeführt~~.		Die reine Rotation ist beim Übergang von L1 nach L2 auch stetig, allerdings weißt die Rotation des normierten Vektorfelds eine klare Kante auf. Ab einem Bestimmten Punkt entstehen also Wirbel. Um herauszufinden, ob dieser Punkt von der Auflösung des Gitters abhängt, sollten mehrere Gitterauflösungen betrachtet werden. Es wäre durchaus möglich, dass der Sprung nur entsteht, weil die Wirbel erst ab einer Bestimmten Größe (ca. 2 Gitterzellen) vom Gitter aufgelöst werden können. Wie die Abbildungen zeigen, ist dies nicht der Fall, es gibt also eine inhärente minimale Wirbelgröße. Die ersten Wirbel entstehen bei \(\mathrm{Re}=6 \rightarrow \mathrm{Re}=6.5\).

			Der Übergang von L1 in L2 scheint also bei etwa \(\mathrm{Re}=6\) stattzufinden.
	===== Zeitableitung \(\mathcal{C}_t\) =====		===== Zeitableitung \(\mathcal{C}_t\) =====
	Für einen kleinen Außenradius (\(R_{\infty}=10\)) scheint der Übergang durch \(\mathrm{Re}=60\) markiert zu sein, dies ist allerdings scheinbar durch Randeffekte bedingt, da der Übergang für \(R_{\infty}=100\) schon früher stattfindet. Dies wäre auch in besserer Übereinstimmung mit der Literatur, welche einen Übergang bei \(30 < \mathrm{Re} < 48\) angibt. Um hier den Übergangsbereich zu untersuchen, läuft gerade eine Simulation mit mit \(R_{\infty}=100\) für kleinere Reynoldszahlen.		Für einen kleinen Außenradius (\(R_{\infty}=10\)) scheint der Übergang durch \(\mathrm{Re}=60\) markiert zu sein, dies ist allerdings scheinbar durch Randeffekte bedingt, da der Übergang für \(R_{\infty}=100\) schon früher stattfindet. Dies wäre auch in besserer Übereinstimmung mit der Literatur, welche einen Übergang bei \(30 < \mathrm{Re} < 48\) angibt. Um hier den Übergangsbereich zu untersuchen, läuft gerade eine Simulation mit mit \(R_{\infty}=100\) für kleinere Reynoldszahlen.

Marvin.H: /* Bestimmung der Regimeübergänge */

2024-06-20T12:35:23Z

Bestimmung der Regimeübergänge

← Older revision		Revision as of 14:35, 20 June 2024
Line 97:		Line 97:
	Alternativ kann die Rotation betrachtet werden. Diese sollte aufgrund der Wirbel in L2 größer sein. Als Maß der Rotation eines Vektorfelds \(\vec{f}\) (z.B. \(\vec{v}\)) wird folgende Definition verwendet:		Alternativ kann die Rotation betrachtet werden. Diese sollte aufgrund der Wirbel in L2 größer sein. Als Maß der Rotation eines Vektorfelds \(\vec{f}\) (z.B. \(\vec{v}\)) wird folgende Definition verwendet:
	\begin{align}		\begin{align}
	\mathcal{R}(\vec{f}) := \frac{L}{f_{\mathrm{ext}}} \left\langle \left(\vec{\nabla}\times\vec{f}\right)_z \right\rangle_{r,\varphi,t}		\mathcal{R}(\vec{f}) := \frac{L}{f_{\mathrm{ext}}} \left\langle \left(\vec{\nabla}\times\vec{f}\right)_z \right\rangle_{r,\varphi}
	\end{align}		\end{align}
			Hierbei wird der Erwartungswert nur über die obere Hälfte \(0<\varphi<\pi\) gebildet.

	=== Methodik zur Bestimmung des Übergangs von L2 in L3 ===		=== Methodik zur Bestimmung des Übergangs von L2 in L3 ===
Line 123:		Line 124:
	\|-		\|-
	\| [[File:BA-MH-Symmetrie-rho_großer_Rand.png\|300px\|thumb\|center\|Symmetrie der Dichte]] \|\| [[File:BA-MH-Symmetrie-vx_großer_Rand.png\|300px\|thumb\|center\|Symmetrie \(v_x\)]] \|\| [[File:BA-MH-Symmetrie-vy_großer_Rand.png\|300px\|thumb\|center\|Symmetrie \(v_y\)]]		\| [[File:BA-MH-Symmetrie-rho_großer_Rand.png\|300px\|thumb\|center\|Symmetrie der Dichte]] \|\| [[File:BA-MH-Symmetrie-vx_großer_Rand.png\|300px\|thumb\|center\|Symmetrie \(v_x\)]] \|\| [[File:BA-MH-Symmetrie-vy_großer_Rand.png\|300px\|thumb\|center\|Symmetrie \(v_y\)]]
			\|}

			{\| class="wikitable"
			\|+ Ergebnisse für die Symmetrie der normierten Geschwindigkeit für verschiedene Reynoldszahlen und Gitter (bei \(R_{\infty} = 100\))
			\|-
			\| [[File:BA-MH-Symmetrie-rho_n_großer_Rand.png\|300px\|thumb\|center\|Symmetrie der Dichte]] \|\| [[File:BA-MH-Symmetrie-vx_n_großer_Rand.png\|300px\|thumb\|center\|Symmetrie \(v_x\)]] \|\| [[File:BA-MH-Symmetrie-vy_n_großer_Rand.png\|300px\|thumb\|center\|Symmetrie \(v_y\)]]
	\|}		\|}

Line 153:		Line 160:
	Die Symmetrie \(\mathcal{S}\) zeigt in allen Fällen einen stetigen Übergang von L1 in L2.		Die Symmetrie \(\mathcal{S}\) zeigt in allen Fällen einen stetigen Übergang von L1 in L2.
	Daher wurde zusätzlich die Rotation betrachtet.		Daher wurde zusätzlich die Rotation betrachtet.
	===== Rotation =====		===== Rotation \(\mathcal{R}\) =====
	Die reine Rotation ist beim Übergang von L1 nach L2 auch stetig, allerdings weißt die Rotation des normierten Vektorfelds eine klare Kante auf. Ab einem Bestimmten Punkt entstehen also Wirbel. Um herauszufinden, ob dieser Punkt von der Auflösung des Gitters abhängt, sollten mehrere Gitterauflösungen betrachtet werden. Es wäre durchaus möglich, dass der Sprung nur entsteht, weil die Wirbel erst ab einer Bestimmten Größe (ca. 2 Gitterzellen) vom Gitter aufgelöst werden können. Dazu werden gerade Simulationen durchgeführt.		Die reine Rotation ist beim Übergang von L1 nach L2 auch stetig, allerdings weißt die Rotation des normierten Vektorfelds eine klare Kante auf. Ab einem Bestimmten Punkt entstehen also Wirbel. Um herauszufinden, ob dieser Punkt von der Auflösung des Gitters abhängt, sollten mehrere Gitterauflösungen betrachtet werden. Es wäre durchaus möglich, dass der Sprung nur entsteht, weil die Wirbel erst ab einer Bestimmten Größe (ca. 2 Gitterzellen) vom Gitter aufgelöst werden können. Dazu werden gerade Simulationen durchgeführt.
	===== Zeitableitung \(\mathcal{C}_t\) =====		===== Zeitableitung \(\mathcal{C}_t\) =====
	Für einen kleinen Außenradius (\(R_{\infty}=10\)) scheint der Übergang durch \(\mathrm{Re}=60\) markiert zu sein, dies ist allerdings scheinbar durch Randeffekte bedingt, da der Übergang für \(R_{\infty}=100\) schon früher stattfindet. Dies wäre auch in besserer Übereinstimmung mit der Literatur, welche einen Übergang bei \(30 < \mathrm{Re} < 48\) angibt. Um hier den Übergangsbereich zu untersuchen, läuft gerade eine Simulation mit mit \(R_{\infty}=100\) für kleinere Reynoldszahlen.		Für einen kleinen Außenradius (\(R_{\infty}=10\)) scheint der Übergang durch \(\mathrm{Re}=60\) markiert zu sein, dies ist allerdings scheinbar durch Randeffekte bedingt, da der Übergang für \(R_{\infty}=100\) schon früher stattfindet. Dies wäre auch in besserer Übereinstimmung mit der Literatur, welche einen Übergang bei \(30 < \mathrm{Re} < 48\) angibt. Um hier den Übergangsbereich zu untersuchen, läuft gerade eine Simulation mit mit \(R_{\infty}=100\) für kleinere Reynoldszahlen.

Marvin.H: /* Methodik zur Bestimmung des Übergangs von L1 in L2 */

2024-06-17T15:01:44Z

Methodik zur Bestimmung des Übergangs von L1 in L2

← Older revision		Revision as of 17:01, 17 June 2024
Line 94:		Line 94:

	Diese Definition von \(\mathcal{S}(s)\) garantiert, dass für Skalarfelder \(s(x,y) = -s(-x,y)\) die Symmetrie \(\mathcal{S}(s) = -1\) beträgt. Anderesherum gilt für ein Skalarfeld mit \(s(x,y)=s(-x,y)\), dass \(\mathcal{S}(s) = 1\) gilt. Aufgrund der Normierung hat \(\mathcal{S}(s)\) immer die Dimension Zahl.		Diese Definition von \(\mathcal{S}(s)\) garantiert, dass für Skalarfelder \(s(x,y) = -s(-x,y)\) die Symmetrie \(\mathcal{S}(s) = -1\) beträgt. Anderesherum gilt für ein Skalarfeld mit \(s(x,y)=s(-x,y)\), dass \(\mathcal{S}(s) = 1\) gilt. Aufgrund der Normierung hat \(\mathcal{S}(s)\) immer die Dimension Zahl.

			Alternativ kann die Rotation betrachtet werden. Diese sollte aufgrund der Wirbel in L2 größer sein. Als Maß der Rotation eines Vektorfelds \(\vec{f}\) (z.B. \(\vec{v}\)) wird folgende Definition verwendet:
			\begin{align}
			\mathcal{R}(\vec{f}) := \frac{L}{f_{\mathrm{ext}}} \left\langle \left(\vec{\nabla}\times\vec{f}\right)_z \right\rangle_{r,\varphi,t}
			\end{align}

	=== Methodik zur Bestimmung des Übergangs von L2 in L3 ===		=== Methodik zur Bestimmung des Übergangs von L2 in L3 ===