BA Emilio Schmidt - Revision history

Emilio.S: /* Numerische Berechnung der Kraft auf die Kugel */

2024-07-03T13:02:57Z

Numerische Berechnung der Kraft auf die Kugel

← Older revision		Revision as of 15:02, 3 July 2024
Line 368:		Line 368:

	== Numerische Berechnung der Kraft auf die Kugel ==		== Numerische Berechnung der Kraft auf die Kugel ==

	~~\(\newcommand{\et}{ {\large\mathbb 1} }\)~~

	Im Unterschied zu der Annahme, die für die analytische Herleitung getroffen wurde, simuliert das verwendete Simulationsprogramm PLUTO kompressible Newtonsche Fluide. Damit verschwindet die Divergenz des Geschwindigkeitsfeldes nicht mehr, weshalb der Spannungstensor für solche Fluide gegeben ist durch:		Im Unterschied zu der Annahme, die für die analytische Herleitung getroffen wurde, simuliert das verwendete Simulationsprogramm PLUTO kompressible Newtonsche Fluide. Damit verschwindet die Divergenz des Geschwindigkeitsfeldes nicht mehr, weshalb der Spannungstensor für solche Fluide gegeben ist durch:

Emilio.S: /* Natürliche Einheiten */

2024-07-02T08:49:14Z

Natürliche Einheiten

← Older revision		Revision as of 10:49, 2 July 2024
Line 843:		Line 843:

	Diese ist nun, wie gefordert, eine dimensionslose Größe.		Diese ist nun, wie gefordert, eine dimensionslose Größe.
	~~\colorbox{yellow}{Sache mit Schallgeschwindigkeit}~~

	== Natürliche Einheiten (Lothar) ==		== Natürliche Einheiten (Lothar) ==

Emilio.S: /* Analyse der Konvergenzgeschwindigkeit */

2024-06-30T16:01:25Z

Analyse der Konvergenzgeschwindigkeit

@@ Line 952: / Line 952: @@
 Damit lässt sich die aufgestellte Hypothese bestätigen. Denn die vergleichsweise große Abweichung von der Stokes'schen Formel verringert sich und auch das Konvergenzverhalten normalisiert sich, durch das eine Vergrößerung des Außenradius \(R_A\).
-=== Steady State ===
+=== Analyse der Konvergenzgeschwindigkeit ===
 === Festlegung auf System mit dem spätere Simulationen laufen ===
 == Durchstimmen Reynolds-Zahlen ==

Emilio.S: /* Auflösungsstudie */

2024-06-29T13:26:15Z

Auflösungsstudie

← Older revision		Revision as of 15:26, 29 June 2024
Line 948:		Line 948:
	In dieser Abbildung lässt sich erkennen, dass sich auch das Konvergenzverhalten, für einen Außenradius von \(R_A=100\), normalisiert hat. Die relative Kraftabweichung fällt dabei sogar, mit der Auflösung, gemäß einer Potenzradius. Die lässt sich anhand folgender doppellogarithmisch dargestellter Abbildung erkennen:		In dieser Abbildung lässt sich erkennen, dass sich auch das Konvergenzverhalten, für einen Außenradius von \(R_A=100\), normalisiert hat. Die relative Kraftabweichung fällt dabei sogar, mit der Auflösung, gemäß einer Potenzradius. Die lässt sich anhand folgender doppellogarithmisch dargestellter Abbildung erkennen:

	\colorbox{yellow}{Plot Kraftabweichung über Auflösung doppellogarithmisch}\\		\colorbox{yellow}{Plot Kraftabweichung über Auflösung doppellogarithmisch}

			Damit lässt sich die aufgestellte Hypothese bestätigen. Denn die vergleichsweise große Abweichung von der Stokes'schen Formel verringert sich und auch das Konvergenzverhalten normalisiert sich, durch das eine Vergrößerung des Außenradius \(R_A\).

	=== Steady State ===		=== Steady State ===

Emilio.S: /* Auflösungsstudie */

2024-06-29T12:47:42Z

Auflösungsstudie

← Older revision		Revision as of 14:47, 29 June 2024
Line 895:		Line 895:
	Die aus den jeweiligen Simulationsdaten ermittelte Kraft \(F_{\text{Sim}}\) auf die Kugel wird dann mit der, über die Stokes'schen Formel ermittelte Kraft \(F_{\text{Theo}}\) verglichen. Dafür wird die relative Kraftabweichung \(\delta F_{\text{rel}}\) betrachtet, welche gegeben ist durch:		Die aus den jeweiligen Simulationsdaten ermittelte Kraft \(F_{\text{Sim}}\) auf die Kugel wird dann mit der, über die Stokes'schen Formel ermittelte Kraft \(F_{\text{Theo}}\) verglichen. Dafür wird die relative Kraftabweichung \(\delta F_{\text{rel}}\) betrachtet, welche gegeben ist durch:
	\begin{align*}		\begin{align*}
	\delta F_{\text{rel}}=1-\frac{F_{\text{Theo}}}{F_{\text{~~Sim~~}}}		\delta F_{\text{rel}}=\frac{F_{\text{Sim}}-F_{\text{Theo}}}{F_{\text{Theo}}}
	\end{align*}		\end{align*}

Emilio.S: /* Auflösungsstudie */

2024-06-29T12:31:52Z

Auflösungsstudie

← Older revision		Revision as of 14:31, 29 June 2024
Line 891:		Line 891:
	Es ist zu erwarten, dass die Simulationsdaten und dementsprechend auch die Ergebnisse für sehr grobe Gitter, durch die Wahl des Gitters verfälscht werden können. Daher bietet sich es sich an zunächst Simulationen für feiner aufgelöste Gitter durchzuführen. Das Ziel ist dabei das gröbste Gitter zu finden, für welches die Kraft auf die Kugel sich nicht mehr bzw. kaum ändert. Dafür werden in den entsprechenden Simulationen, Parameter wie die Reynolds-Zahl, die Dichte im Unendlichen, die Schallgeschwindigkeit, etc. konstant gehalten.		Es ist zu erwarten, dass die Simulationsdaten und dementsprechend auch die Ergebnisse für sehr grobe Gitter, durch die Wahl des Gitters verfälscht werden können. Daher bietet sich es sich an zunächst Simulationen für feiner aufgelöste Gitter durchzuführen. Das Ziel ist dabei das gröbste Gitter zu finden, für welches die Kraft auf die Kugel sich nicht mehr bzw. kaum ändert. Dafür werden in den entsprechenden Simulationen, Parameter wie die Reynolds-Zahl, die Dichte im Unendlichen, die Schallgeschwindigkeit, etc. konstant gehalten.

	Für die erste Simulation dieser Auflösungsstudie wurde ein Gitter mit einem Innenradius \(R_I\) von \(R_I=1\), welcher dem Radius der angeströmten Kugel entspricht, und einem Außenradius \(R_A\) von \(R_A=10\) gewählt. Dabei befinden sich zunächst in radialer Richtung \(11\), ~~logarithmisch~~ mit dem Außenradius größer werdende Zellen. In polarer Richtung befinden sich \(15\) Zellen, uniformer Größe. In den nachfolgenden Simulationen wird die Anzahl der Zellen in radialer und polarer Richtung jeweils mit einer natürlichen Zahl \(n\in\mathbb{N}\) multipliziert. Dadurch ergibt sich in radialer Richtung eine Zellenanzahl von \(n\cdot 11\) und in polarer Richtung eine Zellenanzahl von \(n\cdot 15\). Künftig wird das Gitter als ein Gitter mit der Auflösung \(n\) bezeichnet.		Für die erste Simulation dieser Auflösungsstudie wurde ein Gitter mit einem Innenradius \(R_I\) von \(R_I=1\), welcher dem Radius der angeströmten Kugel entspricht, und einem Außenradius \(R_A\) von \(R_A=10\) gewählt. Dabei befinden sich zunächst in radialer Richtung \(11\), exponentiell mit dem Außenradius größer werdende Zellen. In polarer Richtung befinden sich \(15\) Zellen, uniformer Größe. In den nachfolgenden Simulationen wird die Anzahl der Zellen in radialer und polarer Richtung jeweils mit einer natürlichen Zahl \(n\in\mathbb{N}\) multipliziert. Dadurch ergibt sich in radialer Richtung eine Zellenanzahl von \(n\cdot 11\) und in polarer Richtung eine Zellenanzahl von \(n\cdot 15\). Künftig wird das Gitter als ein Gitter mit der Auflösung \(n\) bezeichnet.

	Die aus den jeweiligen Simulationsdaten ermittelte Kraft \(F_{\text{Sim}}\) auf die Kugel wird dann mit der, über die Stokes'schen Formel ermittelte Kraft \(F_{\text{Theo}}\) verglichen. Dafür wird die relative Kraftabweichung \(\delta F_{\text{rel}}\) betrachtet, welche gegeben ist durch:		Die aus den jeweiligen Simulationsdaten ermittelte Kraft \(F_{\text{Sim}}\) auf die Kugel wird dann mit der, über die Stokes'schen Formel ermittelte Kraft \(F_{\text{Theo}}\) verglichen. Dafür wird die relative Kraftabweichung \(\delta F_{\text{rel}}\) betrachtet, welche gegeben ist durch:

Emilio.S: /* Kompression des Fluides */

2024-06-28T11:31:59Z

Kompression des Fluides

← Older revision		Revision as of 13:31, 28 June 2024
Line 703:		Line 703:
	Gesucht sind nun die Dichte \(\rho(p_\infty)\) ausgewertet an dem Druck im Unendlichen und die Ableitung der Dichte nach dem Druck, ebenfalls ausgewertet an dem Druck im Unendlichen.		Gesucht sind nun die Dichte \(\rho(p_\infty)\) ausgewertet an dem Druck im Unendlichen und die Ableitung der Dichte nach dem Druck, ebenfalls ausgewertet an dem Druck im Unendlichen.

	Dabei kann für die Dichte, ausgewertet am Druck im Unendlichen ~~ausgenutzt~~ werden, dass sie der Dichte eines inkompressiblen Fluides entspricht. Dies liegt daran, dass die Dichte des kompressiblen Fluides, ausgewertet am Druck im Unendlichen, äquivalent zu der Dichte in einem Szenario ist, in dem nicht auf die Kugel eingestrahlt wird. In Abwesenheit dieser Einstrahlung treten keine Dichteänderungen auf, wodurch dieser Fall dem eines inkompressiblen Fluids entspricht. Folglich gilt:		Dabei kann für die Dichte, ausgewertet am Druck im Unendlichen genutzt werden, dass sie der Dichte eines inkompressiblen Fluides entspricht. Dies liegt daran, dass die Dichte des kompressiblen Fluides, ausgewertet am Druck im Unendlichen, äquivalent zu der Dichte in einem Szenario ist, in dem nicht auf die Kugel eingestrahlt wird, also in dem \(v=0\) gilt. In Abwesenheit dieser Einstrahlung treten keine Dichteänderungen auf, wodurch dieser Fall dem eines inkompressiblen Fluids entspricht. Folglich gilt:
	\begin{align*}		\begin{align*}
	\rho(p_\infty)=\rho_\infty=\tilde{\rho}		\rho(p_\infty)=\rho_\infty=\tilde{\rho}
Line 741:		Line 741:
	\end{align*}		\end{align*}

	Ausnutzen, dass die Masse eines Fluides unter Druckänderung konstant bleibt und ~~anwenden~~ der Kettenregel liefert:		Ausnutzen, dass die Masse eines Fluides unter Druckänderung konstant bleibt, und Anwenden der Kettenregel liefert:
	\begin{align*}		\begin{align*}
	&\phantom{\leftrightarrow\,,}		&\phantom{\leftrightarrow\,,}

Emilio.S: /* Kompression des Fluides */

2024-06-27T14:46:01Z

Kompression des Fluides

← Older revision		Revision as of 16:46, 27 June 2024
Line 644:		Line 644:
	\end{align*}		\end{align*}

	Damit also nun die relative Massenänderung bezüglich einer Reynolds-Zahl-Veränderung eine Konstante beschreibt, lässt sich zeigen, dass die relative Dichteänderung lokal konstant sein muss. Es gilt also:		Damit also nun die relative Massenänderung bezüglich einer Reynolds-Zahl-Veränderung eine Konstante beschreibt, lässt sich zeigen, dass die relative Dichteänderung lokal konstant und insbesondere unabhängig von der Reynolds-Zahl sein muss. Es gilt also:
	\begin{align*}		\begin{align*}
	\delta\rho_{\mathrm{rel}}(\vec{r})=c(\vec{r})\,,		\delta\rho_{\mathrm{rel}}(\vec{r})=c(\vec{r})\,,

Emilio.S: /* Kompression des Fluides */

2024-06-27T14:32:04Z

Kompression des Fluides

← Older revision		Revision as of 16:32, 27 June 2024
Line 621:		Line 621:
	Wie oben angemerkt, simuliert das verwendete Simulationsprogramm PLUTO kompressible Fluide. Die Stokes'sche Formel wurde jedoch unter der Annahme, dass es sich bei dem vorliegenden Fluid um ein inkompressibles Fluid handelt, hergeleitet.		Wie oben angemerkt, simuliert das verwendete Simulationsprogramm PLUTO kompressible Fluide. Die Stokes'sche Formel wurde jedoch unter der Annahme, dass es sich bei dem vorliegenden Fluid um ein inkompressibles Fluid handelt, hergeleitet.

	Um die Vergleichbarkeit mit der analytisch hergeleiteten Formel sicherzustellen, muss also die Kompression des Fluides bezüglich ~~der~~ Reynolds-Zahl konstant sein. Ein Maß für die Kompression eines Fluides ist die relative Massenänderung \(\delta m_{\mathrm{rel}}\) in einem beliebigen, aber festen Volumen \(V\) um die Kugel, für den Fall, das mit einem kompressiblen Fluid, anstatt mit einem inkompressiblen Fluid auf die Kugel eingeströmt wird. Die relative Massenänderung ist dabei definiert durch:		Um die Vergleichbarkeit mit der analytisch hergeleiteten Formel sicherzustellen, muss also die Kompression des Fluides bezüglich einer Reynolds-Zahl-Veränderung konstant und klein sein. Ein Maß für die Kompression eines Fluides ist die relative Massenänderung \(\delta m_{\mathrm{rel}}\) in einem beliebigen, aber festen Volumen \(V\) um die Kugel, für den Fall, das mit einem kompressiblen Fluid, anstatt mit einem inkompressiblen Fluid auf die Kugel eingeströmt wird. Die relative Massenänderung ist dabei definiert durch:
	\begin{align*}		\begin{align*}
	\delta m_{\mathrm{rel}}=\frac{m-\tilde{m}}{\tilde{m}}		\delta m_{\mathrm{rel}}=\frac{m-\tilde{m}}{\tilde{m}}
Line 628:		Line 628:
	Dabei bezeichnet \(m\) die Masse des kompressiblen Fluids innerhalb des betrachteten Volumens, während \(\tilde{m}\) die Masse des inkompressiblen Fluids innerhalb desselben Volumens darstellt.		Dabei bezeichnet \(m\) die Masse des kompressiblen Fluids innerhalb des betrachteten Volumens, während \(\tilde{m}\) die Masse des inkompressiblen Fluids innerhalb desselben Volumens darstellt.

	Damit die Kompression des betrachteten Fluides bezüglich ~~der~~ Reynolds-Zahl konstant ist, muss also die relative Massenänderung innerhalb des betrachteten Volumens konstant bezüglich Reynolds-Zahl sein. Es muss also gelten:		Damit die Kompression des betrachteten Fluides bezüglich einer Reynolds-Zahl-Veränderung konstant ist, muss also die relative Massenänderung innerhalb des betrachteten Volumens konstant bezüglich einer Reynolds-Zahl-Veränderung sein. Es muss also gelten:
	\begin{align*}		\begin{align*}
	\delta m_{\mathrm{rel}}=\mathrm{const.}		\delta m_{\mathrm{rel}}=\mathrm{const.}
	\end{align*}		\end{align*}

	Gesucht ist also nun ein expliziter Zusammenhang, damit die Kompression bezüglich ~~der~~ Reynolds-Zahl eine Konstante ist. Dabei erweist es sich als sinnvoll, die relative Dichteänderung \(\delta\rho_{\mathrm{rel}}\) zu betrachten. Diese ist analog zur relativen Massenänderung definiert durch:		Gesucht ist also nun ein expliziter Zusammenhang, damit die Kompression bezüglich einer Reynolds-Zahl-Veränderung eine Konstante ist. Dabei erweist es sich als sinnvoll, die relative Dichteänderung \(\delta\rho_{\mathrm{rel}}\) zu betrachten. Diese ist analog zur relativen Massenänderung definiert durch:
	\begin{align*}		\begin{align*}
	\delta\rho_{\mathrm{rel}}=\frac{\rho-\tilde{\rho}}{\tilde{\rho}}		\delta\rho_{\mathrm{rel}}=\frac{\rho-\tilde{\rho}}{\tilde{\rho}}
Line 644:		Line 644:
	\end{align*}		\end{align*}

	Damit also nun die relative Massenänderung bezüglich ~~der~~ Reynolds-Zahl eine Konstante beschreibt, lässt sich zeigen, dass die relative Dichteänderung lokal konstant sein muss. Es gilt also:		Damit also nun die relative Massenänderung bezüglich einer Reynolds-Zahl-Veränderung eine Konstante beschreibt, lässt sich zeigen, dass die relative Dichteänderung lokal konstant sein muss. Es gilt also:
	\begin{align*}		\begin{align*}
	\delta\rho_{\mathrm{rel}}(\vec{r})=c(\vec{r})\,,		\delta\rho_{\mathrm{rel}}(\vec{r})=c(\vec{r})\,,
Line 677:		Line 677:
	\end{align*}		\end{align*}

	Um nun einen expliziten Zusammenhang finden zu können, unter dem die Kompression bezüglich ~~der~~ Reynolds-Zahl eine Konstante beschreibt, wird im folgenden die Differenz \(\rho-\tilde{\rho}\) betrachtet. Dafür wird zunächst die Dichte des kompressiblen Fluides, um den Druck des Systems im Unendlichen \(p_\infty\) bis zur linearen Ordnung entwickelt. Dabei wird ausgenutzt, dass bei Strömungen, weit im laminaren Regime, keine großen Druckänderungen auftreten können, weshalb das vorliegende Druckfeld folgendermaßen geschrieben werden kann:		Um nun einen expliziten Zusammenhang finden zu können, unter dem die Kompression bezüglich einer Reynolds-Zahl-Veränderung eine Konstante beschreibt, wird im folgenden die Differenz \(\rho-\tilde{\rho}\) betrachtet. Dafür wird zunächst die Dichte des kompressiblen Fluides, um den Druck des Systems im Unendlichen \(p_\infty\) bis zur linearen Ordnung entwickelt. Dabei wird ausgenutzt, dass bei Strömungen, weit im laminaren Regime, keine großen Druckänderungen auftreten können, weshalb das vorliegende Druckfeld folgendermaßen geschrieben werden kann:
	\begin{align*}		\begin{align*}
	p=p_\infty+p^\prime		p=p_\infty+p^\prime
Line 812:		Line 812:
	Aufgrund dessen, dass die relative Dichteänderung für alle Orte in erster Ordnung gleich skaliert, gilt diese Proportionalität für alle Orte im betrachteten Volumen.		Aufgrund dessen, dass die relative Dichteänderung für alle Orte in erster Ordnung gleich skaliert, gilt diese Proportionalität für alle Orte im betrachteten Volumen.

	Daraus folgt, dass die Schallgeschwindigkeit im Unendlichen folgendermaßen skalieren muss, damit die Kompression des betrachteten Fluides bezüglich ~~der~~ Reynolds-Zahl konstant ist:		Daraus folgt, dass die Schallgeschwindigkeit im Unendlichen folgendermaßen skalieren muss, damit die Kompression des betrachteten Fluides bezüglich einer Reynolds-Zahl-Veränderung konstant ist:
	\begin{align*}		\begin{align*}
	c_{S,\infty}=\alpha\sqrt{v}		c_{S,\infty}=\alpha\sqrt{v}

Emilio.S: /* Kompression des Fluides */

2024-06-25T14:33:29Z

Kompression des Fluides

← Older revision		Revision as of 16:33, 25 June 2024
Line 617:		Line 617:
	\end{align*}		\end{align*}

	== ~~Kompressibilität~~ des Fluides ==		== Kompression des Fluides ==

	Wie oben angemerkt, simuliert das verwendete Simulationsprogramm PLUTO kompressible Fluide. Die Stokes'sche Formel wurde jedoch unter der Annahme, dass es sich bei dem vorliegenden Fluid um ein inkompressibles Fluid handelt, hergeleitet.		Wie oben angemerkt, simuliert das verwendete Simulationsprogramm PLUTO kompressible Fluide. Die Stokes'sche Formel wurde jedoch unter der Annahme, dass es sich bei dem vorliegenden Fluid um ein inkompressibles Fluid handelt, hergeleitet.