Arbeitsgruppe Kuiper - User contributions [en]

MA Fynn Wawrzyniak

2026-05-19T19:27:48Z

Fynn.W: M: WIP – Local ionization equilibrium solver

= Initial Conditions =

\( \color{red} TODO \color{black} \)

= Problems =

== Mean Photon Density in Irradiation Update (belt/src/Makemake2.1/Irradiation.c ~ Line 570) ==

During the iterative irradiation update, the local ionization update requires a representative photon density inside each cell for the photoionization term. The ray tracer knows the incoming photon density at the left cell face, \(u_\mathrm{L}\), and computes the outgoing photon density at the right cell face, \(u_\mathrm{R}\).

In the following, only the absorption inside one cell is considered. The Attenuation factor in the code describes the geometrical dilution of the ray between the inner and outer cell face. Therefore, the derivation below focuses only on the local exponential absorption.

Assuming a constant absorption coefficient inside the cell, the photon density decreases exponentially with distance \(s\):

\begin{align}
u(s) = u_\mathrm{L} e^{-\chi s}
\qquad , \qquad
0 \leq s \leq \Delta x .
\end{align}

Here \(\chi\) is the local ionizing absorption coefficient. For ionizing stellar photons,

\begin{align}
\chi = n_\mathrm{H} \, y \, \sigma_\star ,
\end{align}

where \(n_\mathrm{H}\) is the hydrogen number density, \(y\) is the neutral fraction, and \(\sigma_\star\) is the ionization cross section. The optical depth across the full cell is

\begin{align}
\tau = \chi \Delta x .
\end{align}

The outgoing photon density at the right cell face is therefore

\begin{align}
u_\mathrm{R} = u_\mathrm{L} e^{-\tau}.
\end{align}

However, the local rate equations should not use only the right-face value. The photoionization term requires a representative photon density inside the cell. The physically motivated choice is the cell average,

\begin{align}
\langle u \rangle
=
\frac{1}{\Delta x}
\int_0^{\Delta x} u(s)\,\mathrm{d}s .
\end{align}

Inserting the exponential profile gives

\begin{align}
\langle u \rangle
&=
\frac{1}{\Delta x}
\int_0^{\Delta x}
u_\mathrm{L} e^{-\chi s}
\,\mathrm{d}s \\
&=
\frac{u_\mathrm{L}}{\Delta x}
\frac{1 - e^{-\chi \Delta x}}{\chi} \\
&=
u_\mathrm{L}
\frac{1 - e^{-\tau}}{\tau}.
\end{align}

Thus, the photon density used in the local ionization update should be

\begin{align}
\boxed{
\langle u \rangle
=
u_\mathrm{L}
\frac{1 - e^{-\tau}}{\tau}
}
\end{align}

instead of a simple arithmetic average between the left and right cell faces.

Previously, the mean photon density was approximated as

\begin{align}
\langle u \rangle_\mathrm{old}
&=
\frac{1}{2}
\left(
u_\mathrm{L} + u_\mathrm{R}
\right) \\
&=
u_\mathrm{L}
\frac{1 + e^{-\tau}}{2}.
\end{align}

This approximation is reasonable only for optically thin cells. In this limit, both expressions agree to first order in \(\tau\). The cell-averaged expression gives

\begin{align}
\frac{1 - e^{-\tau}}{\tau}
=
1 - \frac{\tau}{2}
+
\mathcal{O}(\tau^2),
\end{align}

while the old arithmetic average gives

\begin{align}
\frac{1 + e^{-\tau}}{2}
=
1 - \frac{\tau}{2}
+
\mathcal{O}(\tau^2).
\end{align}

Therefore, for \(\tau \ll 1\), both estimates are very similar.

For optically thick cells, \(\tau \gg 1\), the outgoing photon density becomes nearly zero,

\begin{align}
u_\mathrm{R} = u_\mathrm{L} e^{-\tau} \rightarrow 0 .
\end{align}

The old approximation then approaches

\begin{align}
\langle u \rangle_\mathrm{old}
\rightarrow
\frac{1}{2} u_\mathrm{L}.
\end{align}

This overestimates the mean photon density in highly optically thick cells, because it assumes that roughly half of the incoming photon density is representative for the whole cell.

The cell-averaged expression has the correct optically thick limiting behavior. For

\begin{align}
\tau \gg 1:
\qquad
\frac{1 - e^{-\tau}}{\tau}
\approx
\frac{1}{\tau},
\end{align}

one obtains

\begin{align}
\langle u \rangle
\approx
\frac{u_\mathrm{L}}{\tau}.
\end{align}

Therefore, the right cell face can be almost completely dark while the cell-averaged photon density remains finite. However, it decreases with increasing optical depth as \(1/\tau\), instead of approaching the constant value \(u_\mathrm{L}/2\) from the old arithmetic average.

[[File:Mean photon density optical depth.png]]

In the crashing cell, the optical depth was extremely large,

\begin{align}
\tau \simeq 3.7\times 10^4 .
\end{align}

In this limit, the outgoing photon density is numerically zero,

\begin{align}
u_\mathrm{R}
=
u_\mathrm{L} e^{-\tau}
\approx
0 .
\end{align}

The old arithmetic estimate therefore gives

\begin{align}
\langle u\rangle_\mathrm{old}
\approx
\frac{1}{2}u_\mathrm{L},
\end{align}

whereas the cell-averaged expression gives

\begin{align}
\langle u\rangle
\approx
\frac{u_\mathrm{L}}{\tau}.
\end{align}

Thus, for the crashing cell, the old estimate overestimated the photon density entering the local photoionization update by approximately

\begin{align}
\frac{\langle u\rangle_\mathrm{old}}{\langle u\rangle}
\approx
\frac{\tau}{2}
\sim
2\times 10^4 .
\end{align}

This was likely problematic for the ionization iteration: the ray tracer treated the cell as optically thick enough to absorb essentially all ionizing photons, while the local rate equations still used a comparatively large photon density inside the same cell.

The corresponding code change is

<syntaxhighlight lang="c">
dtau_ion = nH * y * sigmastar * dx;
Extinction = exp(-dtau_ion);
ustarxr = ustarxl * Attenuation * Extinction;

/*
* Old approximation:
* ustar = 0.5 * (ustarxl + ustarxr);
*/
if (dtau_ion > 1e-12) {
ustar = ustarxl * (1.0 - Extinction) / dtau_ion;
} else {
/*
* Optically thin limit:
* (1 - exp(-dtau_ion)) / dtau_ion -> 1
*
* Avoid numerical division by zero.
*/
ustar = ustarxl;
}

x = IonizationFractionRateEquation(ustar, urec, Tgas, nH, x);
y = NeutralFractionRateEquation( ustar, urec, Tgas, nH, y);
</syntaxhighlight>

== Temperature-Based Initialization of Missing Ionization Fields (obsolete) ==
<div style="background-color: #f9f9f9; border-left: 7px solid #ccc; padding: 15px; color: #777;">

For restarts without stored ionization fields, the ionized and neutral fractions have to be initialized manually. If all cells are initialized as fully neutral, hot gas close to the inner boundary can become artificially optically thick to EUV radiation, because the ionizing optical depth depends directly on the neutral fraction,

\begin{align}
\tau_\mathrm{ion}
=
n_\mathrm{H} y \sigma_\star \Delta x .
\end{align}

To avoid this, the missing ionization fields are initialized once at startup using the gas temperature. This is only an initial condition for restarts without ionization data. A smooth temperature transition is used between \(T_0 = 1\cdot10^4 \,\mathrm{K}\) and \(T_1 = 2\cdot10^4 \,\mathrm{K}\):

\begin{align}
s
=
\frac{T_\mathrm{gas} - T_0}{T_1 - T_0},
\qquad
0 \leq s \leq 1 ,
\end{align}

with \(s\) clipped to the interval \([0,1]\). The initial ionized fraction is then

\begin{align}
x_\mathrm{init}
=
s^2(3-2s),
\end{align}

and the neutral fraction is set consistently as

\begin{align}
y_\mathrm{init}
=
1 - x_\mathrm{init}.
\end{align}

This prevents already hot gas from being initialized as fully neutral and therefore artificially opaque. After the initialization, \(x\) and \(y\) evolve normally through the ionization-recombination solver.

\(\color{black}\)

[[File:Inital ion fraction temperature.png]]
</div>

= Local ionization equilibrium solver (TODO) =

== Motivation ==

The ionization module [https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/2020ApJS..250...13K/abstract Kuiper etal 2020] evolves the ionization fraction \(x\) and the neutral fraction \(y\) of hydrogen. In the current implementation, the local ionization and recombination rate equations are advanced in time using implicit Euler steps. Since the ionization and recombination timescales are assumed to be much shorter than the MHD timescale, this local time evolution is expected to relax the gas toward a quasi-stationary ionization state between two MHD updates.

The aim of this test is to investigate whether this quasi-stationary state can be found more directly. Instead of approaching the local equilibrium through a sequence of implicit time steps, the stationary rate equation is solved for its root in each cell.

This does not change the underlying local rate equation. The difference is only numerical: the current approach obtains the equilibrium state by integrating the rate equation in pseudo-time, while the tested approach tries to solve the stationary balance condition directly. During this local ionization update, the hydrodynamic transport terms are neglected and the gas density is treated as fixed.

== Theory ==

=== Starting point ===

The rate equation for the ionization fraction \(x\) is

\begin{align}
\partial_t(\rho_{\mathrm{gas}} x)
+
\vec{\nabla} \cdot (\rho_{\mathrm{gas}} x \vec{u}_{\mathrm{gas}})
=
\rho_{\mathrm{gas}}
\left[
(\sigma_{\mathrm{EUV}}u_{\mathrm{EUV}} + \sigma_{\mathrm{rec}}u_{\mathrm{rec}})c \, y
+
C(T_{\mathrm{gas}}) n_{\mathrm{H}} \, x y
-
\alpha^{(1)}(T_{\mathrm{gas}}) n_{\mathrm{H}} \, x^2
\right].
\end{align}

For the local ionization update, the advection term is neglected and the gas density is treated as constant:

\begin{align}
\vec{\nabla} \cdot(\rho_{\mathrm{gas}} x \vec{u}_{\mathrm{gas}}) = 0,
\qquad
\partial_t(\rho_{\mathrm{gas}}x) = \rho_{\mathrm{gas}} \partial_t x .
\end{align}

After canceling \(\rho_{\mathrm{gas}}\), this gives

\begin{align}
\partial_t x
=
(\sigma_{\mathrm{EUV}}u_{\mathrm{EUV}} + \sigma_{\mathrm{rec}}u_{\mathrm{rec}})c \, y
+
C(T_{\mathrm{gas}}) n_{\mathrm{H}} \, x y
-
\alpha^{(1)}(T_{\mathrm{gas}}) n_{\mathrm{H}} \, x^2 .
\end{align}

The terms correspond to direct and diffuse recombination photoionization, collisional ionization, and recombination.

=== Cell-averaged direct EUV photon density ===

Instead of using only the incoming photon density at the cell interface, a cell-averaged value is used for the direct EUV photon density:

\begin{align}
\langle u_{\mathrm{EUV}}\rangle
=
u_L \frac{1-e^{-\Delta\tau}}{\Delta\tau},
\qquad
\Delta\tau = n_{\mathrm{H}} \sigma_{\mathrm{EUV}} \Delta x \, y .
\end{align}

Here, \(u_L\) is the incoming direct EUV photon number density at the left or inner cell interface. Inserting this into the direct photoionization term gives

\begin{align}
\partial_t x
=
\sigma_{\mathrm{EUV}} c \, y \,
u_L \frac{1-e^{-n_{\mathrm{H}}\sigma_{\mathrm{EUV}}\Delta x \, y}}
{n_{\mathrm{H}}\sigma_{\mathrm{EUV}}\Delta x \, y}
+
\sigma_{\mathrm{rec}}u_{\mathrm{rec}}c \, y
+
C(T_{\mathrm{gas}}) n_{\mathrm{H}} \, x y
-
\alpha^{(1)}(T_{\mathrm{gas}}) n_{\mathrm{H}} \, x^2 .
\end{align}

The factor \(y\sigma_{\mathrm{EUV}}\) cancels in the first term, resulting in

\begin{align}
\partial_t x
=
\frac{c u_L}{n_{\mathrm{H}}\Delta x}
\left(
1-e^{-n_{\mathrm{H}}\sigma_{\mathrm{EUV}}\Delta x \, y}
\right)
+
\sigma_{\mathrm{rec}}u_{\mathrm{rec}}c \, y
+
C(T_{\mathrm{gas}}) n_{\mathrm{H}} \, x y
-
\alpha^{(1)}(T_{\mathrm{gas}}) n_{\mathrm{H}} \, x^2 .
\end{align}

With \(y=1-x\), the local rate equation becomes

\begin{align}
\partial_t x
=
\frac{c u_L}{n_{\mathrm{H}}\Delta x}
\left[
1-e^{-n_{\mathrm{H}}\sigma_{\mathrm{EUV}}\Delta x \, (1-x)}
\right]
+
\sigma_{\mathrm{rec}}u_{\mathrm{rec}}c \, (1-x)
+
C(T_{\mathrm{gas}}) n_{\mathrm{H}} \, x(1-x)
-
\alpha^{(1)}(T_{\mathrm{gas}}) n_{\mathrm{H}} \, x^2 .
\end{align}

=== Compact form ===

The following abbreviations are introduced:

\begin{align}
A_{\mathrm{E}} = \frac{c u_L}{n_{\mathrm{H}}\Delta x},
\qquad
q_{\mathrm{E}} = n_{\mathrm{H}}\sigma_{\mathrm{EUV}}\Delta x,
\qquad
A_{\mathrm{rec}} = \sigma_{\mathrm{rec}}u_{\mathrm{rec}}c,
\qquad
A_{\mathrm{C}} = C(T_{\mathrm{gas}}) n_{\mathrm{H}},
\qquad
A_{\mathrm{R}} = \alpha^{(1)}(T_{\mathrm{gas}}) n_{\mathrm{H}} .
\end{align}

This gives

\begin{align}
\partial_t x
=
A_E
\left[
1-e^{-q_E(1-x)}
\right]
+
A_{\mathrm{rec}} \, (1-x)
+
A_{\mathrm{C}} \, x(1-x)
-
A_{\mathrm{R}} \, x^2 .
\end{align}

=== Stationary local equilibrium ===

The stationary local equilibrium corresponds to the ionization state for which

\begin{align}
\partial_t x = 0 .
\end{align}

Therefore, the stationary ionization fraction is obtained as a root of

\begin{align}
f(x)
=
A_E
\left[
1-e^{-q_E(1-x)}
\right]
+
A_{\mathrm{rec}} \, (1-x)
+
A_{\mathrm{C}} \, x(1-x)
-
A_{\mathrm{R}} \, x^2 .
\end{align}

The solution must lie in the physical interval

\begin{align}
0 \le x \le 1 .
\end{align}

MA Fynn Wawrzyniak

2026-05-12T19:05:53Z

Fynn.W: Plots + Initial Ion Fraction

File:MAFW Mean photon density optical depth.png

2026-05-12T19:01:55Z

Fynn.W:

Shows the new mean photon density and the older definition.

File:MAFW Inital ion fraction temperature.png

2026-05-12T18:59:27Z

Fynn.W:

Shows how the ion fraction is set after restart based on temperature

MA Fynn Wawrzyniak

2026-05-12T17:41:11Z

Fynn.W:

MA Fynn Wawrzyniak

2026-05-12T17:36:33Z

Fynn.W:

= Initial Conditions =

\( \color{red} TODO \color{black} \)

= Problems =

== Mean Photon Density in Irradiation Update ( ==

During the iterative irradiation update, the local ionization update requires a representative photon density inside each cell for the photoionization term. The ray tracer knows the incoming photon density at the left cell face, \(u_\mathrm{L}\), and computes the outgoing photon density at the right cell face, \(u_\mathrm{R}\).

In the following, only the absorption inside one cell is considered. The Attenuation factor in the code describes the geometrical dilution of the ray between the inner and outer cell face. Therefore, the derivation below focuses only on the local exponential absorption.

Assuming a constant absorption coefficient inside the cell, the photon density decreases exponentially with distance \(s\):

\begin{align}
u(s) = u_\mathrm{L} e^{-\chi s}
\qquad , \qquad
0 \leq s \leq \Delta x .
\end{align}

Here \(\chi\) is the local ionizing absorption coefficient. For ionizing stellar photons,

\begin{align}
\chi = n_\mathrm{H} \, y \, \sigma_\star ,
\end{align}

where \(n_\mathrm{H}\) is the hydrogen number density, \(y\) is the neutral fraction, and \(\sigma_\star\) is the ionization cross section. The optical depth across the full cell is

\begin{align}
\tau = \chi \Delta x .
\end{align}

The outgoing photon density at the right cell face is therefore

\begin{align}
u_\mathrm{R} = u_\mathrm{L} e^{-\tau}.
\end{align}

However, the local rate equations should not use only the right-face value. The photoionization term requires a representative photon density inside the cell. The physically motivated choice is the cell average,

\begin{align}
\langle u \rangle
=
\frac{1}{\Delta x}
\int_0^{\Delta x} u(s)\,\mathrm{d}s .
\end{align}

Inserting the exponential profile gives

\begin{align}
\langle u \rangle
&=
\frac{1}{\Delta x}
\int_0^{\Delta x}
u_\mathrm{L} e^{-\chi s}
\,\mathrm{d}s \\
&=
\frac{u_\mathrm{L}}{\Delta x}
\frac{1 - e^{-\chi \Delta x}}{\chi} \\
&=
u_\mathrm{L}
\frac{1 - e^{-\tau}}{\tau}.
\end{align}

Thus, the photon density used in the local ionization update should be

\begin{align}
\boxed{
\langle u \rangle
=
u_\mathrm{L}
\frac{1 - e^{-\tau}}{\tau}
}
\end{align}

instead of a simple arithmetic average between the left and right cell faces.

Previously, the mean photon density was approximated as

\begin{align}
\langle u \rangle_\mathrm{old}
&=
\frac{1}{2}
\left(
u_\mathrm{L} + u_\mathrm{R}
\right) \\
&=
u_\mathrm{L}
\frac{1 + e^{-\tau}}{2}.
\end{align}

This approximation is reasonable only for optically thin cells. In this limit, both expressions agree to first order in \(\tau\). The cell-averaged expression gives

\begin{align}
\frac{1 - e^{-\tau}}{\tau}
=
1 - \frac{\tau}{2}
+
\mathcal{O}(\tau^2),
\end{align}

while the old arithmetic average gives

\begin{align}
\frac{1 + e^{-\tau}}{2}
=
1 - \frac{\tau}{2}
+
\mathcal{O}(\tau^2).
\end{align}

Therefore, for \(\tau \ll 1\), both estimates are very similar.

For optically thick cells, \(\tau \gg 1\), the outgoing photon density becomes nearly zero,

\begin{align}
u_\mathrm{R} = u_\mathrm{L} e^{-\tau} \rightarrow 0 .
\end{align}

The old approximation then approaches

\begin{align}
\langle u \rangle_\mathrm{old}
\rightarrow
\frac{1}{2} u_\mathrm{L}.
\end{align}

This overestimates the mean photon density in highly optically thick cells, because it assumes that roughly half of the incoming photon density is representative for the whole cell.

The cell-averaged expression has the correct optically thick limiting behavior. For

\begin{align}
\tau \gg 1:
\qquad
\frac{1 - e^{-\tau}}{\tau}
\approx
\frac{1}{\tau},
\end{align}

one obtains

\begin{align}
\langle u \rangle
\approx
\frac{u_\mathrm{L}}{\tau}.
\end{align}

Therefore, the right cell face can be almost completely dark while the cell-averaged photon density remains finite. However, it decreases with increasing optical depth as \(1/\tau\), instead of approaching the constant value \(u_\mathrm{L}/2\) from the old arithmetic average.

In the crashing cell, the optical depth was extremely large,

\begin{align}
\tau \simeq 3.7\times 10^4 .
\end{align}

In this limit, the outgoing photon density is numerically zero,

\begin{align}
u_\mathrm{R}
=
u_\mathrm{L} e^{-\tau}
\approx
0 .
\end{align}

The old arithmetic estimate therefore gives

\begin{align}
\langle u\rangle_\mathrm{old}
\approx
\frac{1}{2}u_\mathrm{L},
\end{align}

whereas the cell-averaged expression gives

\begin{align}
\langle u\rangle
\approx
\frac{u_\mathrm{L}}{\tau}.
\end{align}

Thus, for the crashing cell, the old estimate overestimated the photon density entering the local photoionization update by approximately

\begin{align}
\frac{\langle u\rangle_\mathrm{old}}{\langle u\rangle}
\approx
\frac{\tau}{2}
\sim
2\times 10^4 .
\end{align}

This was likely problematic for the ionization iteration: the ray tracer treated the cell as optically thick enough to absorb essentially all ionizing photons, while the local rate equations still used a comparatively large photon density inside the same cell.

The corresponding code change is

<syntaxhighlight lang="c">
dtau_ion = nH * y * sigmastar * dx;
Extinction = exp(-dtau_ion);
ustarxr = ustarxl * Attenuation * Extinction;

/*
* Old approximation:
* ustar = 0.5 * (ustarxl + ustarxr);
*/
if (dtau_ion > 1e-12) {
ustar = ustarxl * (1.0 - Extinction) / dtau_ion;
} else {
/*
* Optically thin limit:
* (1 - exp(-dtau_ion)) / dtau_ion -> 1
*
* Avoid numerical division by zero.
*/
ustar = ustarxl;
}

x = IonizationFractionRateEquation(ustar, urec, Tgas, nH, x);
y = NeutralFractionRateEquation( ustar, urec, Tgas, nH, y);
</syntaxhighlight>

Fynn.W: Antwort Lothar theta -pi bis pi

Talk:BA Fynn Wawrzyniak

2024-05-17T15:55:46Z

Fynn.W: Bilder vergessen

2024-05-15T14:39:54Z

Fynn.W: Problem "Jet"

File:BW-FW-PROBLEM-JET-M25-LINE-PLOT.png

2024-05-15T14:33:33Z

Fynn.W:

PRS of Cells for different THETA over R

File:BA-FW-PROBLEM-JET-M25-ENDE.jpg

2024-05-15T13:49:28Z

Fynn.W:

Plot of PRS over THETA und R, Zeigt Jet Problem

BA Fynn Wawrzyniak

2024-04-26T17:34:25Z

Fynn.W: /* Einströmgeschwindigkeit konstant */

= Einströmgeschwindigkeit konstant =

Damit die Auflösung des Grids für verschiedene Machzahlen nicht geändert werden muss, wird die Einströmgeschwindikeit als konstant gewählt und die Schallgeschwindigkeit variiert. Für die Schallgeschwindigkeit gilt:

\begin{align}
\frac{v_{\infty}}{\mathcal{M}} = c_{\infty} = \sqrt{\gamma \cdot \frac{p_{\infty}}{\rho_{\infty}}}
\end{align}
\( \)
Wenn die Einströmgeschwindigkeit \(v_{\infty}\) und die Dichte \( \rho_{\infty} \) als Konstanten gegeben sind und die Machzahl \( \mathcal{M} \) sowie der adiabatische Index \( \gamma \) als unabhängige Parameter einstellbar sind, lässt sich der Druck in folgender Form ausdrücken:

\begin{align}
p_{\infty} = \frac{\rho_{\infty}}{\gamma} \biggl( \frac{v_{\infty}}{\mathcal{M}} \biggr)^2
\end{align}

Oder auch:

\begin{align}
p_{\infty} = \frac{\rho_{\infty}}{\gamma} c_{\infty}^2
\end{align}

Des Weiteren gilt für den Druck folgender Zusammenhang mit der Temperatur:

\begin{align}
p_{\infty} = \frac{\rho_{\infty} T_{\infty} R}{\mu}
\end{align}

Hier ist \( R \) die Gaskonstante und \( \mu \) die molare Masse. Aus diesem beiden Gleichungen folgt diese Proportionalität, wenn für verschiedene Mach Zahlen die Einströmgeschwindigkeit konstant bleiben soll:

\begin{align}
T \propto \frac{1}{\mathcal{M}^2}
\end{align}

= Probleme =

Für Machzahlen \( \mathcal{M} > 10 \) tritt kurz nach Beginn der Simulation folgender Fehler auf:

-> ! ConsToPrim(): p(E) < 0 (-1.01e-07), @step = 552 (stage = 1); [i,j = 2, 7], [x1,x2 = 0.000001, 0.172788]

Ein Beispiel "RunFolder", in welchem dieser Fehler auftritt, ist in Nextcloud hochgeladen. In diesem sollte die "init.c" mit meiner Rechnung, die Log-Files und "pluto.ini" zu finden sein.

BA Fynn Wawrzyniak

2024-04-26T16:41:45Z

Fynn.W: T Proportionalität

= Einströmgeschwindigkeit konstant =

Damit die Auflösung des Grids für verschiedene Machzahlen nicht geändert werden muss, wird die Einströmgeschwindikeit als konstant gewählt und die Schallgeschwindigkeit variiert. Für die Schallgeschwindigkeit gilt:

\begin{align}
c_{\infty} = \frac{v_{\infty}}{\mathcal{M}}=\sqrt{\gamma \cdot \frac{p_{\infty}}{\rho_{\infty}}}
\end{align}
\( \)
Wenn die Einströmgeschwindigkeit \(v_{\infty}\) und die Dichte \( \rho_{\infty} \) als Konstanten gegeben sind und die Machzahl \( \mathcal{M} \) sowie der adiabatische Index \( \gamma \) als unabhängige Parameter einstellbar sind, lässt sich der Druck in folgender Form ausdrücken:

\begin{align}
p_{\infty} = \frac{\rho_{\infty}}{\gamma} \biggl( \frac{v_{\infty}}{\mathcal{M}} \biggr)^2
\end{align}

Oder auch:

\begin{align}
p_{\infty} = \frac{\rho_{\infty}}{\gamma} c_{\infty}^2
\end{align}

Des Weiteren gilt für den Druck folgender Zusammenhang mit der Temperatur:

\begin{align}
p_{\infty} = \frac{\rho_{\infty} T_{\infty} R}{\mu}
\end{align}

Hier ist \( R \) die Gaskonstante und \( \mu \) die molare Masse. Aus diesem beiden Gleichungen folgt diese Proportionalität, wenn für verschiedene Mach Zahlen die Einströmgeschwindigkeit konstant bleiben soll:

\begin{align}
T \propto \frac{1}{\mathcal{M}^2}
\end{align}

= Probleme =

Für Machzahlen \( \mathcal{M} > 10 \) tritt kurz nach Beginn der Simulation folgender Fehler auf:

-> ! ConsToPrim(): p(E) < 0 (-1.01e-07), @step = 552 (stage = 1); [i,j = 2, 7], [x1,x2 = 0.000001, 0.172788]

Ein Beispiel "RunFolder", in welchem dieser Fehler auftritt, ist in Nextcloud hochgeladen. In diesem sollte die "init.c" mit meiner Rechnung, die Log-Files und "pluto.ini" zu finden sein.

Talk:BA Fynn Wawrzyniak

2024-04-26T12:58:14Z

Fynn.W: Antwort

Talk:BA Fynn Wawrzyniak

2024-04-26T07:51:44Z

Fynn.W: logs für dt=1e-10,dt=1e-15,dt=1e-20

BA Fynn Wawrzyniak

2024-04-25T20:46:27Z

Fynn.W: edit

= Einströmgeschwindigkeit Konstant =

Damit die Auflösung des Grid's für verschiedene Machzahlen nicht geändert werden muss, wird die Einströmgeschwindikeit als Konstant angesehen und die Schallgeschwindigkeit variiert. Für die Schallgeschwindigkeit gilt:

\begin{align}
c_{\infty} = \frac{v_{\infty}}{\mathcal{M}}=\sqrt{\gamma \cdot \frac{p_{\infty}}{\rho_{\infty}}}
\end{align}
\( \)
Wenn die Einströmgeschwindigkeit \(v_{\infty}\) und die Dichte \( \rho_{\infty} \) als Konstanten gegeben sind und die Machzahl \( \mathcal{M} \) sowie der adiabatische Index \( \gamma \) als unabhängige Parameter einstellbar sind, lässt sich der Druck in folgender Form ausdrücken:

\begin{align}
p_{\infty} = \frac{\rho_{\infty}}{\gamma} \biggl( \frac{v_{\infty}}{\mathcal{M}} \biggr)^2
\end{align}

Oder auch:

\begin{align}
p_{\infty} = \frac{\rho_{\infty}}{\gamma} c_{\infty}^2
\end{align}

= Probleme =

Für Machzahlen \( \mathcal{M} > 10 \) tritt kurz nach Beginn der Simulation folgender Fehler auf:

-> ! ConsToPrim(): p(E) < 0 (-1.01e-07), @step = 552 (stage = 1); [i,j = 2, 7], [x1,x2 = 0.000001, 0.172788]

Ein Beispiel "RunFolder", in welchem dieser Fehler auftritt, ist in Nextcloud hochgeladen. In diesem sollte die "init.c" mit meiner Rechnung, die Log-Files und "pluto.ini" zu finden sein.

BA Fynn Wawrzyniak

2024-04-25T20:42:16Z

Fynn.W: new

= Einströmgeschwindigkeit Konstant =

Damit die Auflösung des Grid's für verschiedene Machzahlen nicht geändert werden muss, wird Einströmgeschwindikeit als Konstant angesehen und die Schallgeschwindigkeit variiert. Für die Schallgeschwindigkeit gilt:

\begin{align}
c_{\infty} = \frac{v_{\infty}}{\mathcal{M}}=\sqrt{\gamma \cdot \frac{p_{\infty}}{\rho_{\infty}}}
\end{align}
\( \)
Wenn die Einströmgeschwindigkeit \(v_{\infty}\) und die Dichte \( \rho_{\infty} \) als Konstanten gegeben sind und die Machzahl \( \mathcal{M} \) sowie der adiabatische Index \( \gamma \) als unabhängige Parameter einstellbar sind, lässt sich der Druck in folgender Form ausdrücken:

\begin{align}
p_{\infty} = \frac{\rho_{\infty}}{\gamma} \biggl( \frac{v_{\infty}}{\mathcal{M}} \biggr)^2
\end{align}

= Probleme =

Für Machzahlen \( \mathcal{M} > 10 \) tritt kurz nach Beginn der Simulation folgender Fehler auf:

-> ! ConsToPrim(): p(E) < 0 (-1.01e-07), @step = 552 (stage = 1); [i,j = 2, 7], [x1,x2 = 0.000001, 0.172788]

Ein Beispiel "RunFolder", in welchem dieser Fehler auftritt, ist in Nextcloud hochgeladen. In diesem sollte die "init.c" mit meiner Rechnung, die Log-Files und "pluto.ini" zu finden sein.

Windtunnel online

2024-04-21T17:27:55Z

Fynn.W: Eintrag zu Wahl des GUI-Frameworks

vom [https://www.uni-due.de/zhqe/foerderprogr_lehr-lern-inno.php LLI-Programm] gefördertes Projekt „Windkanal Online“

= Ziele =

# belt/PLUTO kann alle relevanten Randbedingungen rechnen.
# belt/PLUTO erzeugt einen großen Datensatz an Ergebnissen (Felder) für verschiedene Parameter
# Ein GUI (''streamlit''?) kann die Datensätze interaktiv darstellen.
# Integration des GUIs in Moodle

= TODO =

* Modifikation von belt/PLUTO und Tests der Modifikationen:
** Tests der Randbedingungen für die Wände
** Tests der Randbedingungen am angeströmten Objekt
* Geeignetes GUI finden, [https://h5p.org H5P] ist schon in Moodle integriert.

=GUI=
Die Auswahl eines GUI-Frameworks hängt stark von den gewünschten Funktionen ab. Zunächst erscheint Streamlit jedoch als eine geeignete Wahl zur Darstellung und Interaktion mit verschiedenen Datensätzen.

== Streamlit ==
Das Python-Framework Streamlit ermöglicht es, interaktive Web-Apps zur Datenvisualisierung einfach zu erstellen. Dabei bietet Streamlit eine Vielzahl vorgefertigter Widgets([https://docs.streamlit.io/develop/api-reference Streamlit API-Reference]), die es Benutzern ermöglichen, Daten leicht und anschaulich zu visualisieren.

Streamlit bietet auch verschiedene Möglichkeiten zur Optimierung der Performance von Web-Apps. Funktionen wie <code>st.cache_data</code> können dazu beitragen, Ladezeiten deutlich zu verkürzen.

Ein '''Nachteil''' des einfachen Aufbaus einer Streamlit-App ist, dass komplexere User-Interaktionen nur schwer realisibar sind. Ein Grund dafür ist, dass Streamlit für jeden User-Input die gesamte Web-App aktualisiert.

== H5P ==
H5P (HTML5 Package) ist ein Open-Source-Framework zur Erstellung interaktiver Lerninhalte. Seit 2020 können diese Lerninhalte in Moodle ohne zusätzliches Plugin verwendet werden.

Dieses Framework ist besonders für die Erstellung von Lerninhalten wie Multiple-Choice-Tests oder interaktive Videos mit integrierten Fragen geeignet, weniger jedoch für die Visualisierung von Daten.

Im Moodle der Uni-Due existiert ein Kurs zur Erstellung digitaler Lerninhalte mit H5P ([https://moodle.uni-due.de/course/view.php?id=11029 Moodle-Kompetenzzentrum: Erste Schritte in H5P]).