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Elementare Geometrie (Grundschule)

Punktspiegelung

Eine Drehung um α = 180° heißt Punktspiegelung, d.h. Punktspiegelungen sind keine Achsenspiegelungen! Eine Punktspiegelung ist gleich ihrer Umkehrabbildung. Geraden und Bildgeraden sind unter einer Punktspiegelung parallel zueinander. Punktspiegelungen lassen sich auch durch eine Verkettung von zwei Achsenspiegelungen erzeugen.

Punktspiegelung
Verkettung von zwei Achsenspiegelungen Sb ∘ Sa


Selbstcheck (Verkettung von Achsenspiegelungen)


Was passiert, wenn die Spiegelachsen nicht senkrecht zueinander stehen?
Experimentieren Sie selbst und stellen Sie eine Hypothese auf!! Finden Sie Begründungsansätze?

GeoGebra-Version ohne erweiterte Funktionalitäten https://ggbm.at/D5ePaUxR

GeoGebra-App-Version mit erweiterten Funktionalitäten https://www.geogebra.org/classic/D5ePaUxR

mögliche Hypothesen

  • Urbild ist zum 1. Spiegelbild achsensymmetrisch
  • Urbild ist zum 2. Spiegelbild punktsymmetrisch
  • 1. Spiegelbild ist zum 2. Spiegelbild achsensymmetrisch
  • Urbild wird durch eine Drehung auf das 2. Spiegelbild abgebildet


Klicken Sie hier, um die Hypothesen zu überprüfen.


Welche inhaltsbezogenen und werkzeugbezogenen Kompetenzen sollen Sie erwerben?

Inhaltsbezogene Kompetenzen

Sie können:

  • eine Punktspiegelung erkennen.
  • die Eigenschaften der Punktspiegelung benennen.
  • eine Punktspiegelung ausführen.
  • zwei, drei oder mehrere Punktspiegelungen hintereinander ausführen.


Werkzeugbezogene Kompetenzen

Sie können:

  • Schieberegler und Kontrollkästchen bedienen
  • Winkel anzeigen lassen
  • Achsenspiegelungen durch Bewegung der Spiegelachsen modifizieren
  • Umlaufsinn eines Vierecks visualisieren
  • Durch doppelte Achsenspiegelungen entstandene Abbildungen mit GeoGebra geeignet visualisieren


  • Spiegelungen und Drehungen ausführen
  • Verkettung zweier Achsenspiegelungen erzeugen
  • Eine doppelte Achsenspiegelung ausführen
  • Eine (orthogonale) Gerade konstruieren


Beweisschritte

Satz 1.1:

Es seien a und b zwei Geraden mit dem gleichen Punkt J und dem Schnittwinkel α. Dann gilt: Die Verkettung der Achsenspiegelungen Sb ∘ Sa ist eine Drehung um J mit dem Drehwinkel 2α.

Zeichnen Sie eine Figur und führen Sie eine passende Bezeichnung ein!

Planskizze Verkettung von Achsenspiegelungen Sb ∘ Sa

Hier geht es zum Video.


Wie lautet die Bedingung? (Voraussetzung)

  • a und b ∈ J mit Schnittwinkel α
A und b ∈ J mit Schnittwinkel α.png


  • Verkettung zweier Achsenspiegelungen Sb ∘ Sa (Das Urbild wird erst an der Geraden a gespiegelt und dann an der Geraden b.)
Bildfolge 2, 3, 4.png

Was soll gezeigt werden? (Zu zeigen)

  • Sb ∘ Sa ist eine Drehung mit dem Winkel 2α.
  • β = 2α.
Bild 5.png
Beweis:


1. Verkettung der Achsenspiegelung Sb ∘ Sa (Vor.)

  • Längentreue ⇒ |JE| = |JE´| & |JE´| = |JE´´| ⇒ |JE| = |JE´´|
Bild 6.png


  • Winkeltreue ⇒ |∢LJE| = |∢E´JL| & |∢KJE´| = |∢E´´JK|
Bildfolge 7, 8.png


2. Es gilt für Schnittwinkel α:

  • α =|∢E´JL| + |∢KJE´|
9.png


3. Daraus folgt für β:

  • β = |∢EJE´´| = |∢LJE| + |∢E´JL| + |∢KJE´| + |∢E´´JK|
10.png


⇒ 2(|∢E´JL| + |∢KJE´|) (da |∢LJE| = |∢E´JL| & |∢KJE´| = |∢E´´JK| (1.))

11.png


⇒ 2α (da α = |∢E´JL| + |∢KJE´| (2.))


Übungen (Verkettung von Achsenspiegelung)

Hausübung 3, Aufgabe 13 a, b

Öffnen Sie die GeoGebra-Datei: https://www.geogebra.org/m/yw6vEhfD

a) Verwenden Sie den Schieberegler, um verschiedene Spiegelungen des Ursprungsdreiecks anzeigen zu lassen. Wie wird jeweils gespiegelt? Beschreiben Sie, welche Entdeckung Sie im Hinblick auf den Umlaufsinn der Dreiecke machen können! Ist ein Muster erkennbar?

b) Verschieben Sie die Spiegelgeraden! Welche Veränderungen können Sie beobachten? Beschreiben Sie Ihre Entdeckungen detailliert! Ziehen Sie aus Ihren Entdeckungen Schlussfolgerungen für die Rolle der Lage der Spiegelgeraden für den Umlaufsinn!

Hausübung 3, Aufgabe 13 c

Öffnen Sie die GeoGebra-Datei: https://www.geogebra.org/m/nBkgy47P

c) Bewegen Sie die Schieberegler, um die Spiegelungen der Figuren an den Geraden f, g und h anzuzeigen. Welche gespiegelten Figuren lassen sich auch durch Verschiebung erzeugen?


Inkreis eines Vierecks

Der Inkreis eines Vierecks berührt alle Innenseiten (besser: die Strecken zwischen den Eckpunkten).

Inkreis V 2.0.png


Selbstcheck (Inkreis eines Vierecks)


Welche Eigenschaften muss ein Viereck haben, wenn es einen Inkreis gibt?
Experimentieren Sie selbst und stellen Sie eine Hypothese auf!! Finden Sie Begründungsansätze?
https://www.geogebra.org/m/ggP4rvqm (Öffnen Sie die Datei ggf. mit der GeoGebra-App)

  1. Verstellen Sie den Schieberegler, um verschiedene Viereckstypen anzeigen zu lassen.
  2. Versuchen Sie in diesen Vierecken einen Inkreis zu konstruieren.
  3. Bei welchen Vierecken ist dies möglich, bei welchen nicht?
  4. Wie können Sie den Mittelpunkt der Inkreise finden?


mögliche Hypothesen

  • alle Seiten müssen gleich lang und alle Winkel gleich groß sein
  • gegenüberliegende Seiten müssen gleich lang sein
  • alle Seiten müssen Tangenten am Kreis sein
  • die Summe der Längen gegenüberliegender Seiten sind gleich groß


Klicken Sie hier, um die Hypothesen zu überprüfen.


Welche inhaltsbezogenen und werkzeugbezogenen Kompetenzen sollen Sie erwerben?

Inhaltsbezogene Kompetenzen

Sie können:

  • den Inkreis eines Vierecks mit Zirkel und Lineal (als auch mit GeoGebra) erstellen.
  • Zusammenhänge in geometrischen Konstruktionen (i. d. F. Inkreis eines Vierecks) erkennen, auch wenn bestimmte Eigenschaften (z. B. in einer dynamischen Rechnerkonstruktion) variiert werden.
  • die grundsätzliche Lage von Gerade(n) und Kreis(en) zueinander erkennen.
  • die Kongruenzsätze nutzen, um die Bedingungen für den Inkreis eines Vierecks zu beweisen.


Werkzeugbezogene Kompetenzen

Sie können:

  • ein (regelmäßiges) Viereck konstruieren.
  • einen Kreis mit Mittelpunkt durch Punkt konstruieren, um den Inkreis eines Vierecks zu erstellen.

oder:

  • einen Kreis mit Mittelpunkt und Radius erstellen.
  • vier beliebige Punkte auf der Kreislinie markieren.
  • die Tangenten durch diese Punkte am Kreis bilden, um das Viereck zum Inkreis zu erstellen.


Beweisschritte

Heuristische Strategien (Problemlösestrategien) können Ihnen helfen "richtig" zu beweisen. Sie bieten Ihnen gewissermaßen einen Orientierung für die einzelnen Beweisschritte.
Klicken Sie hier, wenn Sie Ihr Wissen über den Aufbau von Beweisen und über heuristische Strategien testen wollen.


Nach erfolgreicher Bearbeitung der Fragen versuchen Sie doch einmal, den nachfolgenden Satz zu beweisen. Der kleinschrittige Beweis zur Verkettung von zwei Achsenspiegelungen Sb ∘ Sa kann Ihnen dabei helfen.

Satz:

Ein Viereck hat genau dann einen Inkreis, wenn die Summen der gegenüberliegenden Seitenlängen gleich groß sind a+c = b+d.

Neu Inkreis.png
Planskizze Foto.png
Beweis Foto.png

q. e. d.

Klicken Sie hier, um sich die einzelnen Beweisschritte per Video anzuschauen. Das Video Beweis Inkreis eines Vierecks befindet sich im Moodle-Kurs in der Rubrik Wiki.


Übungen (Inkreis eines Vierecks)

Hausübung 8, Aufgabe 29 a

Öffnen Sie die GeoGebra-Datei: https://www.geogebra.org/m/xzPD4m4y

a) Zeichnen Sie bei allen Vierecken den Inkreis ein, sofern diese einen haben. Begründen Sie, welche Vierecke keinen Inkreis haben.